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Analysis » Maßtheorie » Intervall von R auch in Borel-Teilmenge enthalten?
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Universität/Hochschule Intervall von R auch in Borel-Teilmenge enthalten?
ILoveMath3
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  Themenstart: 2020-11-10

Hallo, \ Intervalle jeglicher Art sind ja in der Borel-Menge der reellen Zahlen B(\IR) drinnen Nun betrachte ich einen Intervall I\subsetequal\IR, der mit der Relativtopologie O_I die Borelsche-(Teil)menge \sigma(O_I) =B(I) erzeugt. Es gilt: \sigma(O_I) = B(I) \subsetequal B(\IR) und I\in B(\IR), woraus aber nicht folgt, dass I\in B(I). Frage: Sind nun die Intervalle J\subsetequal I auch in der Borelschen-(Teil)menge B(I) drinnen? Wenn ja, warum?

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ILoveMath3
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  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-11

Ist die Frage zu einfach zu beantworten oder doch relativ kompliziert?

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Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
Triceratops
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Dabei seit: 28.04.2016
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Wohnort: Berlin
  Beitrag No.2, eingetragen 2020-11-12

Natürlich gilt $I \in B(I)$. Für jeden Raum $X$ gilt $X \in B(X)$, ja sogar $X \in O_X$ (mit deiner Notation). Intervalle $J \subseteq I$ sind offen oder eine Vereinigung einer offenen Menge mit ein oder zwei abgeschlossenen Teilmengen von $I$, also in $B(I)$ enthalten.

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