MP: Dreiecksberechnung (Forum Matroids Matheplanet)

Das grundsätzlich zu lösende Gleichungssystem, mit den zu den gegebenen Größen gehörenden Standardgleichungen, lautet $\cdot ~ 4s_c^2=2a^2+2b^2-c^2 \\ \cdot ~ w_\gamma^2 =ab\left(1-\dfrac{c^2}{(a+b)^2}\right) \\ \cdot ~ 4h_c^2 =\dfrac{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}{c^2}$ \showon Beweis. \showon Satz des Apollonius.

\showoff \showon Beweis $s_{c}=\dfrac{\sqrt{2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}}{2}$.

$\begin{tikzpicture}[%scale=0.7, font=\footnotesize, background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle, Punkt/.style 2 args={ label={[#1]:$#2$} }, Dreieck/.style={thick}, ] % Seitenlängen \pgfmathsetmacro{\a}{4} % \pgfmathsetmacro{\b}{3} % \pgfmathsetmacro{\c}{5} % % Dreieckskonstruktion \pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} % \pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} % \pgfmathsetmacro{\Alpha}{asin(2*\F/(\b*\c))} % \coordinate[Punkt={below}{}] (A) at (0,0); \coordinate[Punkt={below}{}] (B) at (\c,0); \coordinate[Punkt={above}{}] (C) at (\Alpha:\b); \draw (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen % Seiten \path[] (A) -- (C) node[midway, left]{$x$}; \path[] (B) -- (C) node[midway, right]{$y$}; % Seitenhalbierende \coordinate[Punkt={below}{}] (M) at ($(A)!0.5!(B)$); \draw[red] (C) -- (M) node[midway, left]{$s$}; \path[] (A) -- (M) node[midway, above]{$m$}; \path[] (B) -- (M) node[midway, above]{$m$}; % Winkel \draw pic [angle radius=0.1*\c cm, "$\varphi$", draw, ] {angle =C--M--A}; \draw pic [angle radius=0.11*\c cm, "$\overline{\varphi}$", draw, ] {angle =B--M--C}; %% Punkte \foreach \P in {M} \draw[fill=black!1] (\P) circle (2pt); \end{tikzpicture} $ Nach dem Satz des Apollonius ist $2s^2 = x^2 +y^2 -2m^2$. Mit $s=s_a$, $x=b$, $y=c$ und $m = \dfrac{a}{2}$ wird $2s_a^2 = b^2+c^2-2\cdot\dfrac{a^2}{4}$ bzw. $ 4s_a^2 = 2b^2 +2c^2 -a^2$. Setzt man darin den Kosinussatz ein, wird $\begin{array}{ll} 4s_a^2 &= 2b^2 +2c^2 -a^2 \\ &= 2b^2 +2c^2 -\big( b^2+c^2-2bc\cdot\cos(\alpha) \big) \\[1em] &= b^2 +c^2 +2bc\cdot\cos(\alpha). \end{array}$ Zusatz: Setzt man erneut den Kosinussatz ein, wird $\begin{array}{ll} 4s_a^2 &= b^2 +c^2 +2bc\cdot\cos(\alpha) \\ &= \big( a^2+2bc\cdot\cos(\alpha) \big) +2bc\cdot\cos(\alpha) \\[1em] &= a^2+4bc\cdot\cos(\alpha). \end{array} $ Damit erhält man für die Seitenhalbierenden die Formeln $\begin{array}{l l l l} s_{a} &=\dfrac{\sqrt{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}}{2} &=\dfrac{\sqrt{b^{2}+c^{2}+2bc\cos(\alpha)}}{2} &=\sqrt{\dfrac{a^{2}}{4}+bc\cos(\alpha)} \\[1em] s_{b} &=\dfrac{\sqrt{2c^{2}+2a^{2}-b^{2}}}{2} &=\dfrac{\sqrt{c^{2}+a^{2}+2ca\cos(\beta)}}{2} &=\sqrt{\dfrac{b^{2}}{4}+ca\cos(\beta)} \\[1em] s_{c} &=\dfrac{\sqrt{2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}}{2} &=\dfrac{\sqrt{a^{2}+b^{2}+2ab\cos(\gamma)}}{2} &=\sqrt{\dfrac{c^{2}}{4}+ab\cos(\gamma)} \end{array}$ $\begin{tikzpicture}[scale=0.7, font=\footnotesize, background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle, Punkt/.style 2 args={ label={[#1]:$#2$} }, ] % Seitenlängen \pgfmathsetmacro{\m}{1.7} % \pgfmathsetmacro{\sa}{\m*4.7} % \pgfmathsetmacro{\sb}{\m*3} % \pgfmathsetmacro{\sc}{\m*2.7} % \pgfmathsetmacro{\a}{2*sqrt(-\sa^2+2*\sb^2+2*\sc^2)/3} % \pgfmathsetmacro{\b}{2*sqrt(-\sb^2+2*\sa^2+2*\sc^2)/3} % \pgfmathsetmacro{\c}{2*sqrt(-\sc^2+2*\sb^2+2*\sa^2)/3} % % Dreieckskonstruktion \pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} % \pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} % \pgfmathsetmacro{\hc}{2*\F/\c} % \pgfmathsetmacro{\AHc}{sqrt(\b^2-\hc^2)} % \pgfmathsetmacro{\AHcRes}{\b > \a ? \AHc : -\AHc} % \coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0); \coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0); \coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\AHcRes,\hc); \draw (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen % Seitenhalbierende \coordinate[Punkt={right}{M_a}] (Ma) at ($(B)!0.5!(C)$); \coordinate[Punkt={above}{M_b}] (Mb) at ($(A)!0.5!(C)$); \coordinate[Punkt={below}{M_c}] (Mc) at ($(A)!0.5!(B)$); \coordinate[Punkt={above}{S}] (S) at ($(A)!2/3!(Ma)$); \draw[] (A) -- (Ma) node[near start, above]{$s_a$}; \draw[] (B) -- (Mb) node[near start, above]{$s_b$}; \draw[] (C) -- (Mc) node[near start, left]{$s_c$}; % Punkte \foreach \P in {Ma,Mb,Mc,S} \draw[fill=black!1] (\P) circle (2pt); \end{tikzpicture} $

\showoff \showon Winkelhalbierendensatz.

$ \begin{tikzpicture}[%scale=0.7, font=\footnotesize, background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle, Punkt/.style 2 args={ label={[#1]:$#2$} }, Dreieck/.style={thick}, ] % Seitenlängen \pgfmathsetmacro{\a}{4} % \pgfmathsetmacro{\b}{3.5} % \pgfmathsetmacro{\c}{6} % \pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} % \pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\a^2+\c^2-\b^2)/(2*\a*\c))} % \pgfmathsetmacro{\Gamma}{acos((\a^2+\b^2-\c^2)/(2*\a*\b))} % \pgfmathsetmacro{\wA}{2*\b*\c*cos(\Alpha/2)/(\b+\c)} % \pgfmathsetmacro{\wB}{2*\a*\c*cos(\Beta/2)/(\a+\c)} % \pgfmathsetmacro{\wC}{2*\a*\b*cos(\Gamma/2)/(\a+\b)} % % Dreieckskonstruktion \coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0); \coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0); \coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b); \draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen % Annotationen - Dreieck \draw[red] (C) --+ (-\Beta-0.5*\Gamma:\wC) coordinate[Punkt={below}{W}] (W) node[midway, right]{$w$}; \path[] (A) -- (W) node[midway, below]{$m$}; \path[] (B) -- (W) node[midway, below]{$n$}; \draw pic [draw, angle radius=6mm, %angle eccentricity=1.8, % pic text={$\alpha$}, pic text options={}, "$\gamma_1$", double ] {angle =A--C--W}; \draw pic [draw, angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.8, % pic text={$\alpha$}, pic text options={}, "$\gamma_2$", double ] {angle =W--C--B}; \path[] (A) -- (C) node[midway, left]{$b$}; \path[] (B) -- (C) node[midway, right]{$a$}; \draw pic [draw, angle radius=4mm, %angle eccentricity=1.8, % pic text={$\alpha$}, pic text options={}, "$\chi$", ] {angle =C--W--A}; \draw pic [draw, angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.8, % pic text={$\alpha$}, pic text options={}, "$\overline{\chi}$", ] {angle =B--W--C}; %%% Punkte \draw[fill=black!1] (W) circle (1.75pt); % Annottion - Text \node[below of=A, yshift=0.25cm, xshift=-7mm, anchor=north west, align=left, text width=2.3*\c cm, fill=black!1, draw=none, font=\normalsize ]{% }; \end{tikzpicture} $ Sei $w$ eine beliebige Ecktransversale von $C$, welche die gegenüberliegende Seite $c$ in die Teilstrecken $m$ und $n$ unterteilt, dann entliest man der Abbildung mit Hilfe des Sinussatzes $\dfrac{\sin(\chi)}{\sin(\gamma_1)} = \dfrac{b}{m}$ und $ \dfrac{\sin(\overline{\chi})}{\sin(\gamma_1)} = \dfrac{a}{n}$. Für die supplementären Winkel bei $W$ ist $ \sin(\overline{\chi}) = \sin(180^\circ -\chi) =\sin(\chi)$; also $\sin(\chi)=\dfrac{b}{m}\cdot \sin(\gamma_1) = \dfrac{a}{n}\cdot \sin(\gamma_2) =\sin(\overline{\chi})$. Damit erhält man die allgemeine Beziehung $$\dfrac{b\sin(\gamma_1)}{a\sin(\gamma_2)} = \dfrac{m}{n}$$ Für den Sonderfall $\gamma_1 =\gamma_2$ ist $w$ die Winkelhalbierende und man erhält $$\dfrac{b}{a} = \dfrac{m}{n}$$

\showoff \showon Satz von Stewart.

Ist $d$ eine beliebige Ecktransversale der Dreiecksecke $C$, welche die gegenüberliegende Seite $c$ in die Teilstrecken $m$ und $n$ unterteilt, so ist ${a^2n+b^2m = c\cdot (mn +d^2)}.$ $ \begin{tikzpicture}[%scale=0.7, font=\footnotesize, ] % Seitenlängen \pgfmathsetmacro{\a}{4} % \pgfmathsetmacro{\b}{3.5} % \pgfmathsetmacro{\c}{6} % \pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} % \pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\a^2+\c^2-\b^2)/(2*\a*\c))} % \pgfmathsetmacro{\Gamma}{acos((\a^2+\b^2-\c^2)/(2*\a*\b))} % \pgfmathsetmacro{\wA}{2*\b*\c*cos(\Alpha/2)/(\b+\c)} % \pgfmathsetmacro{\wB}{2*\a*\c*cos(\Beta/2)/(\a+\c)} % \pgfmathsetmacro{\wC}{2*\a*\b*cos(\Gamma/2)/(\a+\b)} % % Dreieckskonstruktion \coordinate[label=below:$A$] (A) at (0,0); \coordinate[label=below:$B$] (B) at (\c,0); \coordinate[label=$C$] (C) at (\Alpha:\b); \draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen % Annotationen \path[] (A) -- (C) node[midway, left]{$b$}; \path[] (B) -- (C) node[midway, right]{$a$}; % Ecktransversale \coordinate[label=below:$D$] (D) at ($(A)!0.234!(B)$); \draw[red] (C) -- (D) node[midway, right]{$d$}; \path[] (A) -- (D) node[midway, below]{$m$}; \path[] (B) -- (D) node[midway, below]{$n$}; % Winkel \draw pic [draw, angle radius=4mm, %angle eccentricity=1.8, % pic text={$\alpha$}, pic text options={}, "$\overline{\chi}$", ] {angle =C--D--A}; \draw pic [draw, angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.8, % pic text={$\alpha$}, pic text options={}, "$\chi$", ] {angle =B--D--C}; %%% Punkte \draw[fill=black!1] (D) circle (1.5pt); \end{tikzpicture} $ Beweis: Nach dem Kosinussatz ist $a^2=n^2+d^2-2dn\cos(\chi) \\[1em] % b^2=m^2+d^2-2dm\cos(\overline{\chi}) =m^2+d^2-2dm\cos(180^\circ-\chi) \\ ~\Leftrightarrow~ b^2=m^2+d^2+2dm\cos(\chi) \hspace{15mm}\scriptsize\textsf{[da $\cos(\pi-x)=-\cos(x)$]} \\[1em] $ $\begin{array}{l l l} \Rightarrow & a^2m + b^2n &= mn^2+m^2n +(m+n)d^2 \\ & &= (m+n)(mn+d^2) \\ & &= c \cdot (mn+d^2) \hspace{15mm}\square \end{array}$

\showoff \showon Beweis $w_\gamma =\sqrt{ab\left(1-\dfrac{c^2}{(a+b)^2}\right)}$.

\showoff \showon Beweis $w_\gamma =\dfrac{2F}{c\, \cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2} \right)}$.

Aus ${w_\gamma =\dfrac{2ab \cos(\frac{\gamma}{2})}{a+b}}$ wird mit Hilfe der Flächenformeln ${F =\frac12 bc \sin(\alpha) =\frac12 ca \sin(\beta) =\frac12 ab \sin(\gamma)}$ $\begin{array}{l l l} w_\gamma &=\dfrac{2ab \cos(\frac{\gamma}{2})}{a+b} \\[1em] &= \dfrac{2 \dfrac{2F}{c\sin(\beta)} \dfrac{2F}{c\sin(\alpha)} \cos(\frac{\gamma}{2})}{\dfrac{2F}{c\sin(\beta)}+\dfrac{2F}{c\sin(\alpha)}} \\[2.5em] &=\dfrac{\dfrac{8F^2}{c^2} \dfrac{1}{\sin(\alpha)\sin(\beta)} \cos(\frac{\gamma}{2})}{\dfrac{2F}{c} \left(\dfrac{1}{\sin(\alpha)} + \dfrac{1}{\sin(\beta)}\right)} \\[2.5em] &= \dfrac{4F}{c} \dfrac{\cos(\frac{\gamma}{2})}{\sin(\alpha)+\sin(\beta)} \\[2em] &= \dfrac{4F}{c} \dfrac{\cos\left(\frac{180^\circ-(\alpha+\beta)}{2}\right)}{\sin(\alpha)+\sin(\beta)} \\[2.5em] &= \dfrac{4F}{c} \dfrac{\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}{\sin(\alpha)+\sin(\beta)} & \scriptsize\textsf{[da $\cos(\frac\pi2-x)=\sin(x)$]} \\[2em] &= \dfrac{4F}{c} \dfrac{\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}{2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)} & \scriptsize\textsf{[da $\sin(x)+\sin(y)=2\sin\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)$]} \\[2em] &=\dfrac{2F}{c\, \cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2} \right)} &\square \end{array}$

\showoff Damit hat man für die Winkelhalbierenden die Formeln $\begin{array}{l l l l} w_\alpha &=\dfrac{2bc\cos(\frac{\alpha}{2})}{b+c} &=\dfrac{2F}{a\cos\left( \frac{\beta -\gamma }{2} \right)} &=\sqrt{bc \left( 1-\dfrac{a^2}{(b+c)^2} \right)} \\[1.5em] w_\beta &=\dfrac{2ca\cos(\frac{\beta}{2})}{c+a} &=\dfrac{2F}{b\cos\left( \frac{\gamma -\alpha }{2} \right)} &=\sqrt{ac \left( 1-\dfrac{b^2}{(a+c)^2} \right)} \\[1.5em] w_\gamma &=\dfrac{2ab\cos(\frac{\gamma }{2})}{a+b} &=\dfrac{2F}{c\cos\left( \frac{\alpha -\beta }{2} \right)} &=\sqrt{ab \left( 1-\dfrac{c^2}{(a+b)^2} \right)} \end{array}$

\showoff \showon Beweis $F=\dfrac{\sqrt{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}}{4} =\frac12 ch_c$.

$\begin{array}{l l l} F^2 &= \bigl(\frac12 bc\sin(\alpha) \bigr)^2 \\[1em] &= \dfrac{b^2c^2 \bigl( 1-\cos^2(\alpha) \bigr)}{4} & \longleftarrow~~ a^2=b^2+c^2-2bc\cos(\alpha) ~~ \textsf{[Kosinussatz]} \\ &= \dfrac{b^2c^2 \left( 1-\left(\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \right)^2 \right)}{4} \\ &= \dfrac{ b^2c^2-\dfrac{\left( b^2+c^2-a^2 \right)^2}{4} }{4} \\[1em] &= \dfrac{4b^2c^2 -\left( b^2+c^2-a^2 \right)^2}{4^2} &\square \\ \end{array}$ Damit hat man für die Dreiecksfläche die Formeln ${F =\dfrac{\sqrt{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}}{4} =\dfrac{\sqrt{4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2)^2}}{4} =\dfrac{\sqrt{4b^2c^2-(b^2+c^2-b^2)^2}}{4} }$

\showoff \showoff Diese Rechnung ist allerdings aufwendig. Einfacher ist es auszunutzen, dass die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und zwei Seitenlängen mit der Höhe rechtwinklige Dreiecke bilden. Sei $|CH|=h$ die Höhe, $|CW|=w$ die Winkelhalbierende und $|CM|=s$ die Seitenhalbierende; sowie $|AH|=x$ und $|BH|=y$ und $|WH|=p$ und $|MH|=q$. $ % Anzeige \def\measures{1}% 1 'yes', 0 'no' \def\values{0}% 1 'yes', 0 'no' % Gegebene Größen \pgfmathsetmacro{\hc}{6} % \pgfmathsetmacro{\wc}{6.5} % \pgfmathsetmacro{\sc}{7.5} % %\pgfmathsetmacro{\hc}{3} % %\pgfmathsetmacro{\wc}{4} % %\pgfmathsetmacro{\sc}{5} % % Seitenlängen \pgfmathsetmacro{\p}{sqrt(\wc*\wc-\hc*\hc)} \pgfmathsetmacro{\q}{sqrt(\sc*\sc-\hc*\hc)} \pgfmathsetmacro{\x}{-\q+sqrt(\q*\q-\hc*\hc+\q*(\hc*\hc-\p*\p)/\p)} \pgfmathsetmacro{\y}{2*\q+\x} \pgfmathsetmacro{\c}{\x+\y} \pgfmathsetmacro{\a}{sqrt(\hc*\hc+\y*\y)} \pgfmathsetmacro{\b}{sqrt(\hc*\hc+\x*\x)} \pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b*\b+\c*\c-\a*\a)/(2*\b*\c))} % \pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\a^2+\c^2-\b^2)/(2*\a*\c))} % \pgfmathsetmacro{\Gamma}{acos((\a^2+\b^2-\c^2)/(2*\a*\b))} % \begin{tikzpicture}[ font=\footnotesize, >={Triangle[length=0pt 9,width=0pt 3]}, ] % Dreieckskonstruktion \coordinate[label=left:$A$] (A) at (0,0); \coordinate[label=0:$B$] (B) at (\c,0); \coordinate[label=above:$C$] (C) at (\Alpha:\b); \draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Höhe \draw[thick](C) -- ($(A)!(C)!(B)$) coordinate[label=45:$H_c$](Hc) node[midway, right]{$h_c$}; \draw pic [angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.2, draw, "$\cdot$" ] {angle =C--Hc--A}; % Winkelhalbierende \draw[thick] (C) -- +(-\Beta-0.5*\Gamma:\wc) coordinate[label=45:$W_\gamma$](Wc) node[midway, right]{$w_\gamma$}; % Seitenhalbierende \draw[thick] (C) -- ($(A)!0.5!(B)$) coordinate[label=45:$M_c$] (Mc) node[midway, right]{$s_c$}; % Bemaßung \pgfmathsetlengthmacro\L{-1.666cm} \ifnum\measures=1%=================== \begin{scope}[local bounding box=measures] \draw[densely dashed] (A) -- +(0,\L) coordinate[pos=0.9](As); \draw[densely dashed] (B) -- +(0,\L) coordinate[pos=0.9](Bs); \draw[densely dashed] (Hc) -- +(0,\L) coordinate[pos=0.9](Hs) coordinate[pos=0.6](Hss) coordinate[pos=0.3](Hsss); \draw[densely dashed, shorten >=-0.3*\L] (Mc) -- +(0,\L) coordinate[pos=0.9](Ms) coordinate[pos=0.6](Mss) coordinate[pos=0.3](Msss); \draw[densely dashed, shorten >=-0.6*\L] (Wc) -- +(0,\L) coordinate[pos=0.9](Ws) coordinate[pos=0.6](Wss) coordinate[pos=0.3](Wsss); \tikzset{measures/.style={midway, fill=black!1},} \draw[<->] (As) -- (Hs) node[measures]{$x$}; \draw[<->] (Bs) -- (Hs) node[measures]{$y$}; \draw[<->] (Hsss) -- (Wsss) node[measures]{$p$}; \draw[<->] (Hss) -- (Mss) node[measures]{$q$}; \end{scope} \else \path[local bounding box=measures] (A) -- (B);%========= \fi%=================== % Annotationen - Rechnung \ifnum\values=1%=================== \node[yshift=-3mm, draw, align=left, fill=lightgray!50, anchor=north west, ] at (measures.south west) { $\begin{array}{l l} h_c = \hc \text{ cm} & \\ w_\gamma = \wc \text{ cm} \\ s_c = \sc \text{ cm} & \\ \hline p = \p \text{ cm} & \\ q = \q \text{ cm} & \\ x = \x \text{ cm} & \\ y = \y \text{ cm} & \\ \hline c = \c \text{ cm} & \\ a = \a \text{ cm} & \\ b = \b \text{ cm} & \\ \hline \alpha = \Alpha^\circ & \\ \beta = \Beta^\circ & \\ \gamma = \Gamma^\circ & \\ \hline %\multicolumn{2}{l}{aaaa} \\ \end{array}$ }; \fi%=================== \end{tikzpicture} $ Dann entliest man · $y=2q+x$ wegen $|AM|=|BM| ~\Leftrightarrow~ x+q = y-q$. · $\dfrac{b}{a}=\dfrac{x+p}{y-p}=\dfrac{\sqrt{x^2+h^2}}{\sqrt{y^2+h^2}}$ was aus dem Winkelhalbierendensatz (siehe oben) folgt. $\Rightarrow~ (x+p)^2(y^2+h^2)=(y-p)^2(x^2+h^2) \\ ~\Leftrightarrow~ (x^2+p^2+2px)(y^2+h^2) = (y^2+p^2-2py)(x^2+h^2) \\ ~\Leftrightarrow~ \underbrace{x^2y^2} + x^2h^2 +p^2y^2 +\underbrace{p^2h^2} +2pxy^2+2ph^2x \\ {}\hspace{20mm}= \underbrace{x^2y^2} +h^2y^2 +p^2x^2 +\underbrace{p^2h^2} -2px^2y -2ph^2y \\ ~\Leftrightarrow~ h^2x^2-h^2y^2-p^2x^2+p^2y^2 = -2ph^2x -2ph^2y -2pxy^2 -2px^2y \\ ~\Leftrightarrow~ (h^2-p^2)(x^2-y^2) = -2ph^2(x+y) -2p(xy^2+x^2y) \\ ~\Leftrightarrow~ (h^2-p^2)(x^2-y^2) = -2ph^2(x+y) -2p xy (x+y) \\ ~\Leftrightarrow~ (h^2-p^2)(x-y) \underbrace{(x+y)} = -2p\underbrace{(x+y)} (h^2+xy) \hspace{15mm}\small\text{[wobei $~~~x+y>0$]} \\[1em] ~\Leftrightarrow~ (h^2-p^2)(x-y) + 2p(h^2+xy) = 0 \\[1.5em]$ Mit $y=2q+x$ wird $-2q(h^2-p^2) + 2p(h^2+x^2+2qx) = 0 %\\ ~\Leftrightarrow~ x^2 +2qx +h^2-\dfrac{q (h^2-p^2)}{p} =0$ mit der grundsätzlich positiven Lösung der quadratischen Gleichung $\underline{\underline{ x=-q +\sqrt{q^2 -h^2 +\dfrac{q (h^2-p^2)}{p}} }}$ Es wird $x+y = x + (2q+x) =2x+2q =2\sqrt{q^2 -h^2 +\dfrac{q (h^2-p^2)}{p}}.$ Mit $c=x+y$ und $p=\sqrt{w_\gamma^2-h_c^2}$ und $q=\sqrt{s_c^2-h_c^2}$ und $h=h_c$ wird $\boxed{~~ c = 2\sqrt{ s_c^2 -2h_c^2 +(2h_c^2-w_\gamma^2) \sqrt{\dfrac{s_c^2-h_c^2}{w_\gamma^2-h_c^2}} } ~~}$ Aufgrund der Beziehungen $a^2=h^2+y^2$ und $b^2=h^2+x^2$ lassen sich die beiden anderen Seitenlängen direkt mit den Größen $s,w,h$ ausdrücken. Eine etwas kompaktere Darstellung von $a$ und $b$, in Abhängigkeit von der bereits ermittelten Seitenlänge $c$, erhält man mit Hilfe des Satzes von Apollonius (siehe oben). Es ist $x=c-y = c-(2q+x) ~\Leftrightarrow~ x=\dfrac{c-2q}{2}$ bzw. $y=2q+x = 2q + \dfrac{c-2q}{2} ~\Leftrightarrow~ y= \dfrac{c+2q}{2}.$ Wobei $s^2 = q^2+h^2$ gilt. Nach dem Satz des Apollonius ist $a^2+b^2 = 2\left(s^2+\left( \dfrac{c}{2} \right)^2 \right) \\ ~\Leftrightarrow~ a^2 +h^2 + y^2 = 2s^2 +\dfrac{2c^2}{4} \\ ~\Leftrightarrow~ a^2 +h^2 + \left(\dfrac{c+2q}{2} \right)^2 = 2s^2 +\dfrac{2c^2}{4} \\[1em] ~\Leftrightarrow~ a^2+h^2 +\dfrac{(c+2q)^2}{4} = 2s^2 +\dfrac{2c^2}{4} \\[1em] ~\Leftrightarrow~ 4a^2 +4h^2 + c^2 +4q^2 +4qc = 8s^2 +2c^2 \\ ~\Leftrightarrow~ 4a^2 +4h^2 +4(s^2-h^2) +4qc = 8s^2 +c^2 \\ ~\Leftrightarrow~ 4a^2 = 4s^2 +c^2 -4qc = 4s^2 +c^2 -4c\sqrt{s^2-h^2} \\[1em] \Rightarrow~ \boxed{ ~a =\frac12 \sqrt{4s_c^2 +c^2 -4c\sqrt{s_c^2-h_c^2}}~ } $ Ähnlich wie bei der Rechnung für $a$ wird $a^2+b^2 = 2\left(s^2+\left( \dfrac{c}{2} \right)^2 \right) \\ ~\Leftrightarrow~ a^2+b^2 = 2s^2 +\dfrac{2c^2}{4} \\ ~\Leftrightarrow~ 4a^2+4b^4 = 8s^2 +2c^2 \\ ~\Leftrightarrow~ (4s^2 +c^2 -4qc) +4b^2 = 8s^2 +2c^2 \\ ~\Leftrightarrow~ 4b^2 = 4s^2 +c^2 +4qc = 4s^2 +c^2 +4c\sqrt{s^2-h^2} \\[1em] \Rightarrow~ \boxed{ ~b =\frac12 \sqrt{4s_c^2 +c^2 +4c\sqrt{s_c^2-h_c^2}}~ } $ Da damit alle Seitenlängen bekannt sind, lassen sich die Innenwinkel mit Hilfes des Kosinussatzes berechnen. Beispiel: $ % Anzeige \def\measures{0}% 1 'yes', 0 'no' \def\values{1}% 1 'yes', 0 'no' \begin{tikzpicture}[ font=\footnotesize, >={Triangle[length=0pt 9,width=0pt 3]}, ] % Gegebene Größen \pgfmathsetmacro{\hc}{6} % \pgfmathsetmacro{\wc}{6.5} % \pgfmathsetmacro{\sc}{7.5} % \pgfmathsetmacro{\hc}{3} % \pgfmathsetmacro{\wc}{4} % \pgfmathsetmacro{\sc}{5} % % Seitenlängen \pgfmathsetmacro{\p}{sqrt(\wc*\wc-\hc*\hc)} \pgfmathsetmacro{\q}{sqrt(\sc*\sc-\hc*\hc)} \pgfmathsetmacro{\x}{-\q+sqrt(\q*\q-\hc*\hc+\q*(\hc*\hc-\p*\p)/\p)} \pgfmathsetmacro{\y}{2*\q+\x} \pgfmathsetmacro{\c}{\x+\y} \pgfmathsetmacro{\a}{sqrt(\hc*\hc+\y*\y)} \pgfmathsetmacro{\b}{sqrt(\hc*\hc+\x*\x)} \pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b*\b+\c*\c-\a*\a)/(2*\b*\c))} % \pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\a^2+\c^2-\b^2)/(2*\a*\c))} % \pgfmathsetmacro{\Gamma}{acos((\a^2+\b^2-\c^2)/(2*\a*\b))} % % Dreieckskonstruktion %\begin{scope}[local bounding box=dreieck] \coordinate[label=below:$A$] (A) at (0,0); \coordinate[label=below:$B$] (B) at (\c,0); \coordinate[label=above:$C$] (C) at (\Alpha:\b); \draw[local bounding box=Dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Höhe \draw[thick](C) -- ($(A)!(C)!(B)$) coordinate[label=below:$H_c$](Hc) node[midway, left]{$h_c$}; \draw[dashed] (Hc) -- +(-7mm,0) coordinate[](As) -- (A); \draw pic [angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.2, draw, "$\cdot$" ] {angle =C--Hc--As}; % Winkelhalbierende \draw[thick] (C) -- +(-\Beta-0.5*\Gamma:\wc) coordinate[label=below:$W_\gamma$](Wc) node[midway, left]{$w_\gamma$}; % Seitenhalbierende \draw[thick] (C) -- ($(A)!0.5!(B)$) coordinate[label=below:$M_c$] (Mc) node[midway, left]{$s_c$}; %\end{scope} % Bemaßung \pgfmathsetlengthmacro\L{-1.666cm} \ifnum\measures=1%=================== \begin{scope}[local bounding box=measures] \draw[densely dashed] (A) -- +(0,\L) coordinate[pos=0.9](As); \draw[densely dashed] (B) -- +(0,\L) coordinate[pos=0.9](Bs); \draw[densely dashed] (Hc) -- +(0,\L) coordinate[pos=0.9](Hs) coordinate[pos=0.6](Hss) coordinate[pos=0.3](Hsss); \draw[densely dashed, shorten >=-0.3*\L] (Mc) -- +(0,\L) coordinate[pos=0.9](Ms) coordinate[pos=0.6](Mss) coordinate[pos=0.3](Msss); \draw[densely dashed, shorten >=-0.6*\L] (Wc) -- +(0,\L) coordinate[pos=0.9](Ws) coordinate[pos=0.6](Wss) coordinate[pos=0.3](Wsss); \tikzset{measures/.style={midway, fill=black!1},} \draw[<->] (As) -- (Hs) node[measures]{$x$}; \draw[<->] (Bs) -- (Hs) node[measures]{$y$}; \draw[<->] (Hsss) -- (Wsss) node[measures]{$p$}; \draw[<->] (Hss) -- (Mss) node[measures]{$q$}; \end{scope} \else \path[local bounding box=measures] (A) -- (B);%========= \fi%=================== % Annotationen - Rechnung \pgfmathsetlengthmacro\W{0.25*\c*1cm} \ifnum\values=1%=================== \node[yshift=-5mm, anchor=north west, draw, align=left, fill=lightgray!50, text width=3*\W, ] at (measures.south west) { $\begin{array}{l l} h_c = \hc \text{ cm} & \hspace{\W} \\ w_\gamma = \wc \text{ cm} \\ s_c = \sc \text{ cm} & \\ \hline %p = \p \text{ cm} & \\ %q = \q \text{ cm} & \\ %x = \x \text{ cm} & \\ %y = \y \text{ cm} & \\ \hline c = \c \text{ cm} & \\ a = \a \text{ cm} & \\ b = \b \text{ cm} & \\ \hline \alpha = \Alpha^\circ & \\ \beta = \Beta^\circ & \\ \gamma = \Gamma^\circ & \\ \hline %\multicolumn{2}{l}{aaaa} \\ \end{array}$ }; \fi%=================== \end{tikzpicture} $