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  (Z/5Z)^2 Untervektorräume |
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Gilles200
Aktiv 
Dabei seit: 09.05.2020
Mitteilungen: 27
 |  Themenstart: 2020-11-14
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Hallo,
ich bin auf diese Aufgabe gestoßen und komme nicht weiter.
"Bestimmen sie alle Untervektorräume des $\mathbb{Z}_5$-Vektorraums $\mathbb{Z}_5^2$."
Ich habe die Lineare Algebra 1 und 2 zwar schonmal gemacht, aber wir haben solch Restklassen nur leider spärlicch behandelt. Meine Lösung wäre jetzt, das als Unterräume lediglich bleiben:
- Die Menge des Nullvektors,
- $\mathbb{Z}_5^2$ selbst,
- und die Menge aller Linearkombinationen der beiden Einheitsvektoren $\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}^T$ und $\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}^T$.
Für eine Tipp oder eine Lösung wäre ich dankbar.
Gruß
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Erratis
Aktiv 
Dabei seit: 10.12.2016
Mitteilungen: 134
|  Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-14
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Hey Gilles,
es gibt mehr als die von dir genannten UVR. Außerdem gilt doch $(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^2= Span(\{(1,0)^T,(0,1)^T\})$, wenn ich gerade nicht total auf dem Schlauch stehe, da die beiden Vektoren eine Basis bilden. Daher ist die Unterscheidung der beiden Fälle nicht nötig.
Erinnere dich daran, wie ein Untervektorraum definiert ist. Welche Eigenschaften muss die Teilmenge von Vektoren erfüllen?
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Triceratops
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 6472
Wohnort: Berlin
 |  Beitrag No.2, eingetragen 2020-11-14
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Sei allgemeiner $K$ ein Körper. Die Unterräume von $K^2$ sind
- der triviale Vektorraum
- der gesamte Vektorraum
- die $1$-dimensionalen Unterräume, also die von der Form $K \cdot (x,y)$ für $(x,y) \in K^2 \setminus \{(0,0)\}$ sind.
Diese kann man noch genauer auflisten: Für $x=0$ haben wir $y \neq 0$ und wir sehen $K \cdot (x,y) = K \cdot (0,1)$. Für $x \neq 0$ haben wir $K \cdot (x,y) = K \cdot (1,y/x)$. Für $y,y' \in K$ gilt außerdem $K \cdot (1,y) = K \cdot (1,y')$ genau dann, wenn $y=y'$.
Die Anzahl der $1$-dimensionalen Unterräume von $K^2$ ist also $1+|K|$.
Insgesamt hat $K^2$ demnach $3+|K|$ Unterräume.
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Gilles200
Aktiv 
Dabei seit: 09.05.2020
Mitteilungen: 27
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-14
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Danke für beide Antworten, der UVR-Kriterien war ich mir bewusst.
Ich komme nun auf folgende UVR, die nicht der Nullvektor oder der Raum selbst sind:
$span\{ (0,1)^T\}$, $span\{ (1,0)^T\}$, $span\{ (1,1)^T\}$, $span\{ (1,2)^T\}$, $span\{ (1,3)^T\}$ und $span\{ (1,4)^T\}$. Dies sind dann ingesamt 8 Stück und es passt zu $|K|+3$.
Liege ich hier richtig oder muss ich mich genauer damit befassen?
Gruß
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Triceratops
Wenig Aktiv
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 6472
Wohnort: Berlin
| Beitrag No.4, eingetragen 2020-11-14
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Ja, das ist auch genau die Auflistung aus meinem vorigen Beitrag. Es bringt keine Vereinfachung, sich auf den Fall $K = \IZ/5\IZ$ zu beschränken.
Wenn dein Beweis mit der Frage muss ich mich genauer damit befassen endet, dann lautet die Antwortet definitiv Ja. Denn in einem Beweis musst vor allem erst einmal du dich von der Richtigkeit und Vollständigkeit des Beweises überzeugen.
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Gilles200
Aktiv
Dabei seit: 09.05.2020
Mitteilungen: 27
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-14
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Gut, ich habe zu Danken. Es ist wie gesagt nichts was ich bearbeiten muss, sondern etwas, das ich nur nochmal verstehen wollte.
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