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Funktionentheorie » Holomorphie » Laplace'sche Differentialgleichung, Beweise
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Universität/Hochschule Laplace'sche Differentialgleichung, Beweise
lolabecker78
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  Themenstart: 2020-11-15

Moin Leute, wisst ihr wie man bei folgender Aufgabe vorgehen soll? Eine Funktion \( u: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) heißt harmonisch, wenn \( \Delta u:=\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0 \) (Laplace'sche Differentialgleichung). (a) Beweisen Sie, dass eine zweimal stetig differenzierbare Funktion \( u: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) genau dann Realteil einer holomorphen Funktion \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{C} \) ist, wenn \( u \) harmonisch ist. (b) Für welche \( a, b \in \mathbb{R} \) ist das Polynom \( x^{2}+2 a x y+b y^{2} \) Realteil einer auf ganz \( \mathrm{C} \) holomorphen Funktion? Geben Sie wenn möglich so eine holomorphe Funktion an. Ich danke euch im Voraus!


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StefanVogel
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  Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-15

Hallo lolabecker78, 1a) folgt nicht direkt aus der Definition einer holomorphen Funktion, aber aus einer der Eigenschaften, die man unmittelbar nach der Definition der holomorphen Funktion feststellt. Die musst du nochmal durchgehen, welche für diesen Beweis verwendbar sein könnte. Viele Grüße, Stefan


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lolabecker78
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-16

Alles klar, vielen Dank dir!


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