| |
| Autor |
 Transformation beweisen (Möbius) |
|
mathe22
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 07.07.2019
Mitteilungen: 33
 |  Themenstart: 2020-11-15
|
Leute, ich komme bei dieser Aufgabe irgendwie nicht weiter, kann mir jemand sagen, wie man das hier löst?
Das Doppelverhältnis \( \left[z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}\right] \) von vier verschiedenen Punkten \( z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4} \in \mathbb{C}_{\infty} \) ist definiert als
\(
\left[z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}\right]:=\frac{\left(z_{1}-z_{3}\right)\left(z_{2}-z_{4}\right)}{\left(z_{1}-z_{4}\right)\left(z_{2}-z_{3}\right)} \text { für } z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4} \in \mathbb{C}
\)
und für \( z_{j}=\infty \) als entsprechender Grenzwert, also z.B.
\(
\left[\infty, z_{2}, z_{3}, z_{4}\right]:=\lim \limits_{z \rightarrow \infty}\left[z, z_{2}, z_{3}, z_{4}\right]=\frac{z_{2}-z_{4}}{z_{2}-z_{3}}
\)
(a) Sei \( f: \mathrm{C}_{\infty} \rightarrow \mathrm{C}_{\infty} \) eine Möbius-Transformation. Beweisen Sie, dass
\(
\left[z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}\right]=\left[f\left(z_{1}\right), f\left(z_{2}\right), f\left(z_{3}\right), f\left(z_{4}\right)\right]
\)
für paarweise verschiedene \( z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4} \in \mathbb{C}_{\infty} \)
(b) Benutzen Sie Teil (a) um folgendes zu zeigen: Gegeben paarweise verschiedene Punkte \( z_{1}, z_{2}, z_{3} \in \mathbb{C}_{\infty} \) und \( w_{1}, w_{2}, w_{3} \in \mathbb{C}_{\infty}, \) so existiert genau eine Möbius-Transformation \( f: \mathbb{C}_{\infty} \rightarrow \mathbb{C}_{\infty} \) mit \( f\left(z_{j}\right)=w_{j} \) für \( j=1,2,3 \). Für \( z \notin\left\{z_{1}, z_{2}, z_{3}\right\} \) ist \( f \) gegeben durch
\(
\left[w_{1}, w_{2}, w_{3}, f(z)\right]=\left[z_{1}, z_{2}, z_{3}, z\right]
\)
Ich würde mich freuen, wenn jemand die Zeit findet, mir zu helfen! Danke!
|
 Profil
|
StefanVogel
Senior 
Dabei seit: 26.11.2005
Mitteilungen: 4248
Wohnort: Raun
| Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-15
|
Hallo mathe22,
zu Aufgabe (a) siehe https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?rd2&topic=35804 , also entweder in $\left[f\left(z_{1}\right), f\left(z_{2}\right), f\left(z_{3}\right), f\left(z_{4}\right)\right]$ die Möbiustransformation einsetzen und stur ausrechnen, oder weil sich jede Möbiustransformation durch Verkettung von Elemetartypen darstellen lässt, die Behauptung für die Elementartypen beweisen.
Viele Grüẞe,
Stefan
|
Profil
|
mathe22
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 07.07.2019
Mitteilungen: 33
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-16
|
Danke für deine Hilfe Stefan!
|
Profil
|
| mathe22 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. |
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
