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Funktionentheorie » Holomorphie » Wie Bild einer Halbebene bestimmen?
Autor
Universität/Hochschule Wie Bild einer Halbebene bestimmen?
jamozeki
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 02.07.2020
Mitteilungen: 20
  Themenstart: 2020-11-15

Guten Tag, mir liegt folgende Aufgabe vor: (a) Es sei \( a \in \mathbb{C} \) mit Re \( a>0 . \) Bestimmen Sie das Bild der rechten Halbebene \( \{z \in \mathbb{C}: \) Re \( z>0\} \) unter der Möbius-Transformation \( f_{a}(z)=\frac{z-a}{z+\bar{a}} \) (b) Es sei \( b \in \mathbb{C} \) mit \( |b|<1 . \) Benutzen Sie Teil (a) um eine Möbius-Transformation \( f \) zu finden, die den Einheitskreis auf sich selbst abbildet, und den Punkt \( b \) auf den Ursprung. Kann mir jemand helfen, wie man dies mithilfe des Möbius Transformation durchführt?

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Maexinator
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Mitteilungen: 31
  Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-15

Eine Möbiustransformation bildet ja Kreise wieder auf Kreise ab, wobei Geraden in der Funktionentheorie hier als Kreise mit unendlich großem Radius gelten. Ein Kreis ist durch 3 Punkte eindeutig definiert. Du könntest dir also drei Punkte auf dem Rand der rechten Halbebene \(\partial \mathbb{H}=\{a+bi \in \mathbb{C}\vert a=0 \} \cup \{\infty \}\) aussuchen und dir das Bild von diesen angucken. Diese 3 Bildpunkte definieren dann wieder einen Kreis (bzw. evt. Gerade).

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jamozeki
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 02.07.2020
Mitteilungen: 20
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-16

Super, ich danke dir vielmals!

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