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Funktionentheorie » Holomorphie » Ganze holomorphe Funktion global in Potenzreihe entwickelbar?
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Universität/Hochschule Ganze holomorphe Funktion global in Potenzreihe entwickelbar?
Denis
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Dabei seit: 18.11.2020
Mitteilungen: 8
  Themenstart: 2020-11-18

Ich habe folgendes im Skript gelesen: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/53816_Funktionentheorie.png Nun frage ich mich warum dies gilt. Ich dachte jede Holomorphe funktion ist nur lokal in eine Potenzreihe entwickelbar. Also das um jeden Punkt nur eine Umgebung existiert wo diese in eine Potenzreihe entwickelbar ist bzw. das die Potenzreihe in dieser Umgebung konvergiert. Wäre sehr hilfreich wenn man mir sagen könnte warum das gilt und ob dies auch für andere Punkte außer der 0 gilt. Und gilt dies auch wenn f auf C^n oder teilmengen von C holomorph ist?


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Wally
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  Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-18

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Hallo, Denis, willkommen auf dem Matheplaneten! Der Radius der Entwicklung ist so groß wie der Abstand des Entwicklungspunkts zur nächste Singularität (das sieht man direkt im Beweis). Wenn es keine Singularitäten gibt, ist die Reihe eben auf ganz \( \IC\) konvergent. Viele Grüße Wally \(\endgroup\)


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Denis
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-18

Hallo Wally vielen Dank für deine Antwort. Also wenn f:\Omega->\IC eine Singularität hätte dann wäre sie ja nicht holomorph auf ganz \Omega. Dementsprechend hat jede Funktion f die Holomorph auf \Omega ist keine Singularität und ist auf ganz \Omega global in einer Potenzreihe entwickelbar? Wieso sagt man dann nicht das jede Holomorphe Funktion global in eine Potenzreihe entwickelbar ist?


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Wally
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  Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-18

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Vielleicht verstehe ich dich nicht richtig. Was soll $\Omega$ sein? Wally\(\endgroup\)


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Denis
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-18

Ups, vergessen hinzuschreiben. \Omega\subset\ \IC


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zippy
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  Beitrag No.5, eingetragen 2020-11-18

\quoteon(2020-11-18 22:43 - Denis in Beitrag No. 2) Dementsprechend hat jede Funktion f die Holomorph auf \Omega ist keine Singularität und ist auf ganz \Omega global in einer Potenzreihe entwickelbar? \quoteoff Die problematische Singularität muss ja nicht in $\Omega$ liegen. Betrachte $f(z)=\frac1z$ und $\Omega=\{z:|z-2|<2\}$. Wegen der Singularität bei $z=0\notin\Omega$ hat die Entwicklung von $f$ um $z=1$ nur den Konvergenzradius 1 und konvergiert somit nicht auf ganz $\Omega$.


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