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  Tangentengleichung einer Funktion |
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Spedex
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 |  Themenstart: 2020-11-22
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Hallo, zugegeben, der Titel hört sich etwas "kindisch" an und es ist vermutlich Schulstoff aber ich komm da nicht weiter. Deswegen habe ich es jetzt erstmal in Schulmathematik gegeben.
Gegeben ist folgende Aufgabenstellung:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/52794_18_pic1.jpg
Wobei es jetzt erstmal um a) geht.
Ich kenne folgende allgemeine Tangentengleichung:
\[t(x)=f(a)+f'(a)*(x-a)\]
Dabei frage ich mich schonmal, wie man denn auf diese Gleichung kommt.
Ich erkenne die Ähnlichkeit zur linearen Funktion:
\[y=d+k*x\]
Doch es unterscheidet sich doch schon etwas davon.
Wie kommt man denn auf den d-Teil.
Sollte \(d=f(a)\) gelten, dann macht das doch keinen Sinn. d ist der Abstand zwischen Schnittpunkt der y-Achse und Ursprung. \(f(a)\) ist der Wert der Funktion an der Stelle a.
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/52794_6_pic1.png
Hier in diesem Bild wäre das "d" bei der Tangenten 0, der Funktionswert \(f(a)\) an der Stelle, an der die Tangente gebildet wird nicht.
\(k=f'(a)\) verstehe ich aber wieso \(x=(x-a)\)?
Nun zur Aufgabenstellung: Bei dieser allgemeinen Tangentengleichung wird ja die Variable a verwendet. Nun soll die Tangenten allerdings im Punkt x gemacht werden. Ersetze ich jetzt a mit x? Das würde keinen Sinn machen, denn dann wäre ja \((x-a) = 0\), nicht?
Könnt ihr mir hier weiterhelfen?
Liebe Grüße
Spedex
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Diophant
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-22
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo Spedex,
an dieser Stelle ist die Aufgabe meiner Ansicht nach unsauber gestellt. Ich würde den Punkt P\(\left(x_0,f(x_0)\right)\) oder auch P\(\left(\xi,f(\xi)\right)\) nennen. Und dann ist es wie du sagst genau die aus der Schule bekannte allgemeine Tangentengleichung.
Auf die kommt man mit Hilfe der sog. Punktsteigungsform:
\[\frac{y-f(x_0)}{x-x_0}=m=f'(x_0)\]
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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PrinzessinEinhorn
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 | Beitrag No.2, eingetragen 2020-11-22
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Hallo,
\quoteon
Dabei frage ich mich schonmal, wie man denn auf diese Gleichung kommt.
Ich erkenne die Ähnlichkeit zur linearen Funktion
\quoteoff
Das kann man sicherlich auch einfacher beantworten, aber ich probiere mal folgende Antwort.
So eine Tangente ist ja eine lineare Funktion.
In der Schule würde man diese mit $y=mx+b$ notieren.
Nach Definition in der Hochschule sind diese Funktionen in der Regel nicht linear. Sie sind linear für $b=0$.
Man nennt aber sowas affin-lineare Funktion.
Sie sind nicht linear, weil lineare Funktionen ja unter anderem f(0)=0 erfüllen müssen.
Die linearen Funktionen $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ sind also genau die Funktionen von der Form $y=mx$.
Dabei bezeichnet $m$ ja ganz gewöhnlich die Steigung, die wir mit der Hilfe der Differentialrechnung ganz elegant auch als $f'(x_0)$ notieren können (für irgendeine Stelle $x_0$, wo uns gerade die Steigung interessiert).
Wenn wir jetzt also die Tangentengleichung in einem Punkt $(x|f(x))$ bestimmen möchten, dann könnten wir ganz ausführlich das wie folgt machen.
Beispiel:
Ich folge mal dem Beispiel $f(x)=x^3-x$.
Ich möchte die Gleichung der Tangente im Punkt $(2|f(2))$ angeben.
Es gilt $f(2)=2^3-2=6$, also genauer für den Punkt $(2|6)$.
Um jetzt wirklich eine lineare Funktion anzugeben muss ich jetzt folgendes tun.
Nach obigen wissen wir, dass lineare Funktionen durch den Ursprung gehen müssen.
Ich lege unseren gesuchten Punkt also in den Ursprung.
Wie verschiebt man nochmal Funktionen um gewisse Punkte?
Verschiebung auf der y-Achse erhält man, indem man einen gewissen Wert dazu addiert. Dieser Wert wäre hier $-6$, oder $-f(2)$.
Wie verschiebt man auf der x-Achse?
Ich verschiebe $f(x)$ um $a$ 'nach links', indem ich $f(x+a)$ betrachte, und um $a$ 'nach rechts', indem ich $f(x-a)$ betrachte.
[Spiel da vielleicht mal mit einem Funktionsplotter rum, um dir das besser klar zumachen. Also einfach eine Funktion plotten, un dann mit der Maus nach links, rechts, oben, unten verschieben, und beobachten, was sich da tut: https://www.geogebra.org/classic?lang=de]
Was wollen wir jetzt nochmal tun? Achja, den Punkt $(2|f(2))$ in den Ursprung legen.
Also den Funktionsgraph um 2 nach links verschieben, und um $f(2)$ nach unten.
Also $g(x)=f(x+2)-f(2)$ betrachten.
Nun interessieren wir uns für die Gleichung der Tangente im Ursprung (was nun eine lineare Funktion ist).
Die Steigung ist gegeben durch $g'(0)=f'(2)$.
Also ist die gesuchte Gleichung $y=f'(2)x$.
Jetzt machen wir es wieder Rückwärts, denn wir wollen ja die Tangente von $f$ im Punkt $(2|f(2))$ wissen.
Also wieder zurückschieben.
Um 2 nach rechts, um f(2) nach oben.
Für die Tangente gilt dann also $t(x)=f'(2)(x-2)+f(2)$.
Und das sollte dir ja jetzt bekannt vorkommen. :)
Möglicherweise beantwortet es auch deine anderen offenen Fragen.
Ansonsten fragst du sicherlich nochmal zurück.
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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Spedex
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-22
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Hallo, vielen Dank für die Antworten! Sehr sehr ausführlich erklärt, wirklich gut.
Auch mit dem Wikipedia Artikel von Diophant (also der, der von Diophant hier rein gesendet wurde) kann man es gut verstehen.
Herzlichen Dank!
Liebe Grüße
Spedex
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Spedex
Aktiv
Dabei seit: 19.03.2020
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-22
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Ok, ich habe noch eine Frage zur c), die Angabe ist ja im Startbeitrag.
Die Steigung ist in diesem Fall unendlich.
Wie komm ich nun auf eine Gleichung für die Tangente.
Wenn die Gleichung allgemein wie folgt aussieht:
\[t(x)=f(a)+f'(a)*(x-a)\]
Dann sieht sie jetzt so aus:
\[t(x)=f(a)+\infty*(x-a)\]
Und wenn ich mir dass als Gerade vorstelle, die irgendwo die y-Achse schneiden sollte, wäre das ja:
\[y=\infty\ast x-\infty\]
Nicht?
Könnt ihr mir hier weiterhelfen?
Liebe Grüße
Spedex
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Diophant
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| Beitrag No.5, eingetragen 2020-11-22
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Halo nochmals,
in Teilaufgabe c) besitzt der Graph der Funktion jetzt eine senkrechte Tangente (überlege dir, warum, insbesondere auch: warum es eine Tangente und keine Asymptote ist).
Wie gibt man senkrechte Geraden an (das geht sehr einfach)?
Ich habe meine vorige Antwort wieder gelöscht, da ich die Aufgabe falsch verstanden hatte und nicht wusste, ob ich dazukomme, diese Antwort hier rasch fertigzustellen.
Gruß, Diophant
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viertel
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 | Beitrag No.6, eingetragen 2020-11-22
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\(\begingroup\)\(\newcommand\d{\mathop{}\!\mathrm{d}}\)
Die Gleichung kann man ohne Nachzudenken hinschreiben (wobei hier Tangente der falsche Ausdruck ist, es ist eine Asymptote):
$$x=a$$
Es muß nicht immer $y=\dots$ sein. Es muß ja auch nicht immer ein $x$ dabei sein, wie z.B. bei $y=\frac{1}{4}$ 😎
Die Gleichung $x=a$ beschreibt die Menge aller Punkte $(x|y)$ des $\mathbb{R}^2$ mit konstantem $x$ und beliebigem $y$.
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.5 begonnen.]\(\endgroup\)
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Diophant
Senior
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| Beitrag No.7, eingetragen 2020-11-22
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@viertel:
\quoteon(2020-11-22 17:04 - viertel in Beitrag No. 6)
Die Gleichung kann man ohne Nachzudenken hinschreiben (wobei hier Tangente der falsche Ausdruck ist, es ist eine Asymptote):
\quoteoff
Nein, da bist du jetzt genauso hereingefallen wie ich vorhin bei meiner ersten Antwort zu dieser Teilfrage. Betrachte den Definitionsbereich, der gilt ja nach wie vor... 😉
Gruß, Diophant
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viertel
Senior
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| Beitrag No.8, eingetragen 2020-11-22
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\(\begingroup\)\(\newcommand\d{\mathop{}\!\mathrm{d}}\)
Ist $f$ denn mit der Grenzwertbedingung in $a$ differenzierbar?
Mit $f:[-1,1]\rightarrow \mathbb{R}$ und $f(x)=\sqrt{1-x^2}$ ist $f'(x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ und $f'(-1)$ nicht definiert.\(\endgroup\)
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Diophant
Senior
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Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.9, eingetragen 2020-11-22
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo viertel,
ich hatte das jetzt so verstanden, dass nur die Differenzierbarkeit in \(x=a\) aufgehoben wird, der Definitionsbereich aber davon unberührt bleibt. Ein einfaches Beispiel wäre etwa die Funktion \(f:\ [0,1]\to\IR\) mit \(f(x)=\sqrt{x}\).
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Spedex
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-22
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Ach so...
Mir war natürlich bewusst, dass es eine vertikale Linie ist, nur habe ich immer nach einer Version mit \(y=...\) gesucht.
Dabei passt natürlich \(x=a\).
Bezüglich dem Tangenten und Asymptoten Zeug:
Die Ableitung ist eine Tangente, aber die ursprünglich Funktion verläuft in diesem Punkt schon asymptotisch, oder?
LG
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Diophant
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| Beitrag No.11, eingetragen 2020-11-22
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
\quoteon(2020-11-22 17:43 - Spedex in Beitrag No. 10)
Ach so...
Mir war natürlich bewusst, dass es eine vertikale Linie ist, nur habe ich immer nach einer Version mit \(y=...\) gesucht.
Dabei passt natürlich \(x=a\).
\quoteoff
Ja, genau.
\quoteon(2020-11-22 17:43 - Spedex in Beitrag No. 10)
Bezüglich dem Tangenten und Asymptoten Zeug:
Die Ableitung ist eine Tangente, aber die ursprünglich Funktion verläuft in diesem Punkt schon asymptotisch, oder?
\quoteoff
Nein, eben nicht. Wenn da eine senkrechte Asymptote wäre, dann wäre die Funktion an dieser Stelle nicht definiert. In der Aufgabe hätte man also eine Änderung des Definitionsbereichs von \([a,b]\) nach \((a,b]\) vornehmen müssen.
Das ist aber nicht geschehen, also besitzt die Funktion an der Stelle \(x=a\) insbesondere einen (endlichen) Funktionswert und damit in diesem Punkt auch eine Tangente (weil sie ja rechts von \(x=a\) nach wie vor differenzierbar ist!).
Das einfachste Beispiel, die Wurzelfunktion, habe ich doch oben schon angeführt. Ihr Graph führt von rechts her senkrecht in den Ursprung, die Ableitung strebt also gegen \(\infty\) für \(x\to 0^{+}\). Die Tangentengleichug ist dann entsprechend einfach \(x=0\).
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Spedex
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-22
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Aber wieso sollte das an dieser Stelle nicht definiert sein.
Wenn das Intervall \((a,b)\) wäre, dann würde ich es verstehen. Dann wäre ja der Punkt \(a\) nicht mehr im Intervall, aber mit \([a,b]\) ist das doch nicht der Fall.
Was verstehe ich da falsch?
LG
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Diophant
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| Beitrag No.13, eingetragen 2020-11-22
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo Spedex,
wenn die Funktion an der Stelle \(x=a\) definiert ist, dann besitzt sie dort einen endlichen Funktionswert. Das schließt dann aber eine Asymptote kategorisch aus. Und nur für den von dir angenommenen Fall einer (senkrechten) Asymptote galt meine Argumentation. Dort, wo eine Funktion eine solche Asymptote hat, ist immer auch eine Definitionslücke!
Ich möchte dir, um es nochmal anders auszudrücken, die ganze Zeit erklären, warum diese Funktion an der Stelle \(x=a\) zwingend eine senkrechte Tangente besitzt.
Ist dir denn der Unterschied Asymptote vs. Tangente klar?
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Spedex
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| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-22
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Ah, stimmt. Asymptoten entstehen ja beispielsweise bei Funktionen wie \(\frac{1}{1-x}\), das ist dann für einen gewissen x-Wert nicht definiert. Und dann dürfte ich den x-Wert (in unserem Fall a) nicht mit einschließen im Intervall. Da wir aber eckige Klammern beim Intervall haben, sprich die Randpunkte mit eingeschlossen haben, kann es keine Asymptote sein.
Bezüglich Unterschied:
Eine Tangente hat meines Wissens nach eine konstante Steigung. Eine Asymptote nähert sich einem Wert, erreicht in jedoch nie, die Steigung ist dann wahrscheinlich auch nicht konstant, sondern wird immer größer, je näher man der Stelle a kommt.
LG
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
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Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.15, eingetragen 2020-11-22
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
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\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
viel einfacher: eine Tangente berührt eine Kurve (geometrische Definition) bzw. besitzt einen gemeinsamen Punkt mit einer Kurve und stimmt in ihrer Steigung dort mit der Ableitung der betreffenden Funktion überein (Definition der Analysis, so macht dann bspw. auch ein Begriff wie Wendetangente Sinn).
Eine Asymptote ist ebenfalls eine Gerade, die sich einer Kurve immer mehr annähert, so dass:
- der Abstand kontinuierlich kleiner wird
- beliebig klein wird, dabei aber
- stets positiv bleibt.
Im antiken Griechenland hatte man schon die Vorstellung, dass die Asymptoten der Hyperbel die jeweiligen Äste erst im Unendlichen berühren. Daher auch die Namensgebung: altgriechisch asymptotos heißt sinngemäß in etwa die nicht Zusammenfallenden.
Nachtrag:
Auch hier habe ich einmal wieder zu sehr geometrisch gedacht. Es gibt eine moderne Definition von asymptotischer Annäherung, die den obigen Fall mit einschließt aber auch andere Fälle mit abdeckt. Danach verhalten sich zwei Terme \(f(x)\), \(g(x)\) (für \(x\to \infty\)) asymptotisch zueinander, wenn
\[\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=1\]
gilt. Siehe dazu auch den Beitrag #17 von zippy.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Spedex
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| Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-22
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Ah, verstehe.
Vielen Dank für die Hilfe!
Liebe Grüße
Spedex
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4609
 | Beitrag No.17, eingetragen 2020-11-22
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\quoteon(2020-11-22 19:53 - Diophant in Beitrag No. 15)
Eine Asymptote ist ebenfalls eine Gerade, die sich einer Kurve immer mehr annähert, so dass:
- der Abstand kontinuierlich kleiner wird
- beliebig klein wird, dabei aber
- stets positiv bleibt.
\quoteoff
Alle drei Punkte sind keine notwendigen Eigenschaften einer Asymptote. Betrachte die Funktion $x\mapsto\frac{\sin x}x$, die die $x$-Achse als Asymptote hat.
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
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Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.18, eingetragen 2020-11-22
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
@zippy:
\quoteon(2020-11-22 21:03 - zippy in Beitrag No. 17)
\quoteon(2020-11-22 19:53 - Diophant in Beitrag No. 15)
Eine Asymptote ist ebenfalls eine Gerade, die sich einer Kurve immer mehr annähert, so dass:
- der Abstand kontinuierlich kleiner wird
- beliebig klein wird, dabei aber
- stets positiv bleibt.
\quoteoff
Alle drei Punkte sind keine notwendigen Eigenschaften einer Asymptote. Betrachte die Funktion $x\mapsto\frac{\sin x}x$, die die $x$-Achse als Asymptote hat.
\quoteoff
Ja, da holt mich ab und an die Vergangenheit ein und ich fange an, rein geometrisch zu denken...
Ich habe den Beitrag noch angepasst. Danke für den Hinweis!
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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viertel
Senior 
Dabei seit: 04.03.2003
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| Beitrag No.19, eingetragen 2020-11-23
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\(\begingroup\)\(\newcommand\d{\mathop{}\!\mathrm{d}}\)
\quoteon(2020-11-22 19:47 - Spedex in Beitrag No. 14)
Ah, stimmt. Asymptoten entstehen ja beispielsweise bei Funktionen wie \(\frac{1}{1-x}\), das ist dann für einen gewissen x-Wert nicht definiert.
\quoteoff
Nicht nur. Es gibt auch nicht-vertikale Asymptoten.
\quoteon(Spedex)
Und dann dürfte ich den x-Wert (in unserem Fall a) nicht mit einschließen im Intervall. Da wir aber eckige Klammern beim Intervall haben, sprich die Randpunkte mit eingeschlossen haben, kann es keine Asymptote sein.
\quoteoff
Das kann man so stehen lassen.
\quoteon(Spedex)
Bezüglich Unterschied:
Eine Tangente hat meines Wissens nach eine konstante Steigung.
\quoteoff
Meines Wissens nach auch.
\quoteon(Spedex)
Eine Asymptote nähert sich einem Wert, erreicht in jedoch nie, die Steigung ist dann wahrscheinlich auch nicht konstant, sondern wird immer größer, je näher man der Stelle a kommt.
\quoteoff
Hier meinst du das Richtige, formulierst es aber falsch.
Nicht die Asymptote nähert sich an irgendwas an, sondern die Kurve an die Asymptote.
Asymptoten
Da gibt es unzählige Möglichkeiten.
Ein paar Beispiele. Schwarz die Kurve, rot die Asymptote(n).
vertikal (wie in deinem Beispiel) und horizontal
$$f(x)=0.5+\frac{1}{1-x}$$
\geo
ebene(200,200) x(-3,3) y(-3,3)
plot(0.5+1/(1-x))
c(red) p(1,-10,A) p(1,10,B) g(A,B,,nolabel)
plot(0.5)
\geooff
geoprint()
vertikal und schräg
$$f(x)=\frac{x^2+1}{x-1}$$
\geo
ebene(200,200) x(-3,6) y(-3,6)
plot((x^2+1)/(x-1))
c(red) p(1,-10,A) p(1,10,B) g(A,B,,nolabel)
plot(x+1)
\geooff
geoprint()
vertikal und krumm
$$\frac{1}{x-1}+x^2$$
\geo
ebene(200,300) x(-3,3) y(-3,6)
plot(x^2+1/(x-1))
c(red) p(1,-10,A) p(1,10,B) g(A,B,,nolabel)
plot(x^2)
\geooff
geoprint()
\(\endgroup\)
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Spedex
Aktiv
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Wohnort: Wien
| Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-23
|
Danke für die schöne Erklärung.
LG
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