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Analysis » Maßtheorie » Sigma-Algebra und Dynkin-Systeme
Thema eröffnet 2020-11-23 11:56 von cool97
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Universität/Hochschule Sigma-Algebra und Dynkin-Systeme
PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.40, eingetragen 2020-11-24


Deine Idee, dass der Widerspruch nur im dritten Axiom entstehen kann, ist korrekt.

Mit einem Tipp kann ich leider aktuell nicht dienen, weil ich es selber gerade nicht sehe, wie es scheitert. Tut mir leid.

Wir haben $A_1$ und $A_2$ mit gewissen Eigenschaften gegeben, und du weißt/vermutest, dass irgendwas mit dem Vereinigen schiefgehen wird.

Dann kannst du doch erstmal

$(A_1\times\Omega_2)\cup (\Omega_1\times A_2)$ untersuchen.

Ich sehe gerade aber nicht, warum das kein Element mehr von $D$ sein sollte, bzw. was bessere Mengen sind, die man sich ansehen könnte...



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cool97
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.41, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-25


Erfüllt das von mir eingetragene Beispiel von Wikipedia nicht sogar die Voraussetzungen für Teilaufgabe iii) zu zeigen?

Wenn ich dort nur die p.d. Elemente vereinige, sind alles Vereinigungen wieder in D. Wenn ich nun aber bspw. { 3 , 4 } u { 1 , 4 } wie in einer Sigma-algebra bestimme, erhalte ich { 1 , 3 , 4 }  und diese Menge liegt im Beispiel nicht in M.
Aber wie müsste man jetzt A1 und A2 wählen, damit das auch für die Menge D funktioniert?



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cool97
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.42, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-25


Ich sehe gerade, dass wir noch den Tipp bekommen haben, es über ein Lebesguemaß zu probieren, wobei gelten muss, dass $λ_{1}(A)$=0 sein muss für ein bestimmtes A, hiermit komme ich aber auch nicht weiter...

Oder ist die Aufgabe hier bspw. auf die Cantormenge aus, diese hatte ich nämlich schon mal in einer anderen Aufgabe als Gegenbeispiel nennen können?



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cool97
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.43, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-25


@PrinzessinEinhorn

Muss die Aufgabe nun abgeben, ist aber nicht schlimm, dass mir der letzte Teil fehlt.

Vielen Dank Dir für deine Hilfe und vor allem für deine Erklärungen und deine Geduld, die Thematik ist mir auf jeden Fall viel klarer geworden!

Viele Grüße



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.44, eingetragen 2020-11-25


Das tut mir leid, dass du die Aufgabe nun unvollständig abgeben musstest, nachdem wir solange damit verbracht haben.

Wie man hier ein anständiges Gegenbeispiel angibt, weiß ich leider immer noch nicht, habe aber auch noch nicht weiter darüber (oder über den Tipp) nachgedacht.

Wenn du später eine Lösung präsentiert bekommst, freue ich mich, wenn du sie hier teilst. :)



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cool97
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.45, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-25



Hatte gerade die Übung und mein Übungsleiter hat einfach nur darüber argumentiert, dass D nicht schnittstabil ist und somit keine Sigma-algebra vorliegt, aber dies auch nicht weiter durch ein Beispiel o.ä. belegt... 🙄



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.46, eingetragen 2020-11-25


Hmm, da müsste ich mal drüber nachdenken. Aber aktuell habe ich wenig Zeit.
Vielleicht später... xD


Ansonsten wissen andere Mitleser vielleicht mehr.



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
AnnaKath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.47, eingetragen 2020-11-26


Huhu zusammen,

Sind $A_k\in\mathcal{A_k}$ mit $A_k\notin\{\emptyset, \Omega_k\}$ so sind $B_1 = A_1 \times \Omega_2$ und $B_2 = \Omega_1 \times A_2$ Elemente von $D$, nicht aber $B_1 \cap B_2 = A_1 \times A_2$. Also ist das Dynkin-System nicht durchschnittstabil und somit keine $\sigma$-Algebra.

lg, AK.



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.48, eingetragen 2020-11-26


Danke.

Wobei ich mich gerade frage, warum ich mich so habe von der Vereinigung verleiten lassen, ohne mal an den Schnitt zu denken...



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