| |
| Autor |
  Vermeintliches Gegenbeispiel für eine Aussage aus der linearen Algebra |
|
mrdydx
Junior 
Dabei seit: 08.11.2020
Mitteilungen: 8
 |  Themenstart: 2020-11-23
|
Guten Tag.
Im Moment behandeln wir Untervektorräume, lineare Hüllen und so weiter.
In einer unserer Aufgaben sollen wir zeigen, dass
\[ LH(M) = \bigcap \{ U \subseteq \mathbb{R}^n \mid M \subseteq U \} \]
gilt, wobei M eine Teilmenge aus dem Vektorraum R^n, LH() die lineare Hülle ist und U ein Untervektorraum.
Zwei Menge sind gleich, wenn beide Menge jeweils Teilmengen voneinander sind. Dass die lineare Hülle einer Menge M Teilmenge des Schnittes mehrerer Untervektorräume, die M enthalten, ist ja relativ leicht zu zeigen. Aber die andere Inklusion ergibt für mich so keinen Sinn und ich sehe auch nicht, wie man das zeigen soll. Stattdessen habe ich ein Gegenbeispiel, das die Aussage doch eigentlich widerlegt.
Wir betrachten die Menge \( M : = \{ \begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix} \} \), und den Untervektorraum \( U: = \{ \begin{pmatrix} a\\a \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^2 \}\) von \( \mathbb{R}^2\). \(U \) ist ein Untervektorraum, da \(U \) eine Ursprungsgerade darstellt. Man definiere sich außerdem \(W: = U \). Man sieht außerdem, dass \(M \subseteq U \) und \( M \subseteq W \) gelten. Nun ja, da \( W = U \) ist der Schnitt der beiden Mengen \(U\), also gerade die Ursprungsgerade.
Angeblich muss nun aber \[\bigcap \{ U \subseteq \mathbb{R}^n \mid M \subseteq U \} \subseteq LH(M)\]
gelten, aber da kann man ja ganz leicht ein Gegenbeispiel finden. Z.B. gilt \( \begin{pmatrix} 1 \\ 1\end{pmatrix} \in \bigcap \{ U \subseteq R^n \mid M \subseteq U \}\), aber dieser Vektor ist ganz sicher keine Linearkombination des Nullvektors. Wo ist der Fehler? Und wie soll die oben beschriebene Inklusion überhaupt nachweisbar sein?
|
 Profil
|
Nuramon
Senior 
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3705
| Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-23
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\d}{{\rm d}}
\newcommand{\rg}{\operatorname{rg}}
\newcommand{\spur}{\operatorname{spur}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Hallo,
mit $\bigcap \{ U \subseteq \mathbb{R}^n \mid M \subseteq U \}$ ist hier der Schnitt über alle Untervektorräume $U$, die $M$ enthalten gemeint. Insbesondere ist in deinem Beispiel der Nullvektorraum $U=0$ ein solcher Untervektorraum. Also ist $(1,1)^T$ nicht im Schnitt enthalten.\(\endgroup\)
|
Profil
|
mrdydx
Junior
Dabei seit: 08.11.2020
Mitteilungen: 8
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-23
|
\quoteon(2020-11-23 15:41 - Nuramon in Beitrag No. 1)
Hallo,
mit $\bigcap \{ U \subseteq \mathbb{R}^n \mid M \subseteq U \}$ ist hier der Schnitt über alle Untervektorräume $U$, die $M$ enthalten gemeint. Insbesondere ist in deinem Beispiel der Nullvektorraum $U=0$ ein solcher Untervektorraum. Also ist $(1,1)^T$ nicht im Schnitt enthalten.
\quoteoff
In meinem Beispiel habe ich zwei Ursprungsgeraden als Untervektorräume gewählt, und beide enthalten $M$. Der Schnitt ist ja also wieder die Ursprungsgerade selber. Der Vektor $\begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}$ liegt zwar nicht in der Teilmenge $M$, aber das muss er ja auch nicht. Er muss nur im Schnitt der Ursprungsgeraden, die $M$ enthalten, also auf der Ursprungsgeraden selbst liegen.
|
Profil
|
helmetzer
Senior
Dabei seit: 14.10.2013
Mitteilungen: 1605
| Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-23
|
Profil
|
mrdydx
Junior
Dabei seit: 08.11.2020
Mitteilungen: 8
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-23
|
\quoteon(2020-11-23 15:55 - helmetzer in Beitrag No. 3)
Beratungsresistent?
\quoteoff
$\begin{pmatrix} 1\\1\end{pmatrix}$ ist doch in meinem Beispiel im Schnitt enthalten. Wir schneiden nicht $M$ mit $U$, sondern $U$ mit $W$ und da kommt $U$ raus. Der Vektor ist Element von $U$.
|
Profil
|
Nuramon
Senior
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3705
| Beitrag No.5, eingetragen 2020-11-23
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\d}{{\rm d}}
\newcommand{\rg}{\operatorname{rg}}
\newcommand{\spur}{\operatorname{spur}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Ich glaube dir ist einfach die Notation unklar (die ist hier tatsächlich etwas unglücklich).
Gemeint ist
$$\bigcap \{ U \subseteq \mathbb{R}^n \mid M \subseteq U , U \text{ist UVR von }\IR^n\}.$$
Eine gebräuchlichere Schreibweise (die aber genau das gleiche bedeutet) ist:
$$ \bigcap_{\substack{ U \subseteq \mathbb{R}^n \\ M \subseteq U \\U \text{ ist UVR von }\IR^n }} U.$$
Es wird also der Schnitt über alle möglichen Untervektorräume, die $M$ enthalten, gebildet. Und zwar auf einmal.
In deinem Beispiel betrachtest du aber nur zwei Untervektorräume (sogar nur einen, da $W=U$) und bildest den Schnitt $U\cap W$.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]\(\endgroup\)
|
Profil
|
mrdydx
Junior
Dabei seit: 08.11.2020
Mitteilungen: 8
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-23
|
\quoteon(2020-11-23 16:02 - Nuramon in Beitrag No. 5)
Ich glaube dir ist einfach die Notation unklar (die ist hier tatsächlich etwas unglücklich).
Gemeint ist
$$\bigcap \{ U \subseteq \mathbb{R}^n \mid M \subseteq U , U \text{ist UVR von }\IR^n\}.$$
Eine gebräuchlichere Schreibweise (die aber genau das gleiche bedeutet) ist:
$$ \bigcap_{\substack{ U \subseteq \mathbb{R}^n \\ M \subseteq U \\U \text{ ist UVR von }\IR^n }} U.$$
Es wird also der Schnitt über alle möglichen Untervektorräume, die $M$ enthalten, gebildet. Und zwar auf einmal.
In deinem Beispiel betrachtest du aber nur zwei Untervektorräume (sogar nur einen, da $W=U$) und bildest den Schnitt $U\cap W$.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
\quoteoff
Ich habe mir ein Beispiel gewählt, wo man sich über den Schnitt gar keine großen Gedanken machen musss, weil wir hier im Prinzip, so wie du sagst, nur einen Untervektorraum haben. Dieser enthält den Nullvektor, aber auch noch andere Elemente. Diese anderen Elemente liegen im Schnitt, da beim Schneiden der Untervektorräume gar keine Elemente rausfliegen. Aber diese Elemente können nicht in der linearen Hülle vom Nullvektor liegen.
Ich verstehe einfach nicht, was an diesem Gedankengang falsch ist.
Edit: Jetzt sehe ich, was ich falsch mache. Du hast es eigentlich schon gesagt. Nimm ALLE UVRs die $M$ enthalten und schneide sie, nicht nur zwei beliebige.
|
Profil
|
Nuramon
Senior
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3705
| Beitrag No.7, eingetragen 2020-11-23
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\d}{{\rm d}}
\newcommand{\rg}{\operatorname{rg}}
\newcommand{\spur}{\operatorname{spur}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Der Fehler liegt darin, dass du überhaupt Untervektorräume auswählst. Es steht schon da, über welche Untervektorräume $U\supset M$ der Schnitt gebildet wird: nämlich alle auf einmal (im Allgemeinen ist das also eine Schnittmenge von unendlich vielen Untervektorräumen).
Es wird nicht behauptet, dass der Schnitt von zwei beliebigen Untervektorräumen gleich der linearen Hülle ist.\(\endgroup\)
|
Profil
|
mrdydx hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Das Thema wurde von einem Senior oder Moderator abgehakt. | | mrdydx wird per Mail über neue Antworten informiert. |
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
