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| Autor |
 Quaternionengruppe |
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EuskiPeuski712
Aktiv 
Dabei seit: 06.01.2020
Mitteilungen: 76
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Hallo Leute,
leider fehlt mir die zündende Idee für folgende Aufgabe:
  
Man betrachte die Elemente E=(1,0;0,1) , I=(i,0;0,-i) , J=(0,1;-1,0) und K=(0,i;i,0) und definiert daraus die Quaternionengruppe Q={+-E,+-I,+-J,+-K} Zeige, dass jede Untergruppe H<=G ein Normalteiler von Q ist
Meine Idee war nun zu zeigen, dass für alle Untergruppen H und alle Elemente a aus der Gruppe selbst gilt, dass
a*H*a^(-1)\subsetequal\ H
Nun war meine folgende Idee:
Ich setze h=(a,b;c,d) mit a,b,c,d \el\ {0,+-1,+-i} und h soll dabei ein beliebiges Element der Untergruppe H sein Dann habe ich gerechnet: a*h*a^(-1) für a\el\ Q und erhielt 4 verschiedene Matrizen. Mir fehlt nun die Idee, wie ich zeigen kann, dass diese Matrizen in H enthalten sind. Dazu hier die Matrizen: (a,b;c,d) (ist klar, ist in H enthalten), (a,-b;-c,d), (d,-c;-b,a) und (d,c;b,a)
Ich hoffe mein Lösungsansatz ist verständlich erklärt. Hätte jemand noch eine Idee ?
Vielen lieben Dank schon mal im Voraus :)
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Phoensie
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Dabei seit: 11.04.2020
Mitteilungen: 265
Herkunft: Muri AG, Schweiz
 |      Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-23
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} % Natürliche Zahlen
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} % Ganze Zahlen
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} % Rationale Zahlen
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} % Reelle Zahlen
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} % Komplexe Zahlen
\newcommand{\ord}{\mathrm{ord}} % Gruppenordnung
\newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)\)
Lieber EuskiPeuski712
Ich gebe dir mal eine Beweisskizze für eine Möglichkeit, die funktioniert:
Sei $A$ eine Untergruppe von $Q$.
1) Der Satz von Lagrange besagt, dass jede Untergruppe $A$ von $Q$ die Gruppenordnung von $Q$ teilt:
\[
A < Q \implies \ord(A) \,|\,\ord(Q) = 8
\]
Von vornherein müssen wir also nur die Untergruppenordnungen 1,2,4,8 anschauen.
2) Mache eine Fallunterscheidung bzgl. diesen vier Ordnungen.
3) Fall $\ord(A)=1$ und $\ord(A)=8$ sollten leicht zu bewältigen sein. Nutze für $\ord(A)=4$ die Abzählformel \[\ord(Q) = [Q:A] \cdot \ord(A).\]
Für $\ord(A)=2$ gibt es nur einen Kandidaten. Warum?
Gruss Phoensie\(\endgroup\)
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EuskiPeuski712
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Dabei seit: 06.01.2020
Mitteilungen: 76
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-23
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Vielen lieben Dank erstmal für die ausführliche Antwort.
Das war tatsächlich eine gute Idee, konnte somit jetzt auch alle Untergruppen der Gruppe bestimmen. Wäre es in dem Fall dann trotzdem notwendig zu zeigen, dass diese Untergruppen Normalteiler sind oder gibt es noch einen Trick, der das ganze diesbezüglich abkürzt ?
Ich bin mir auch sehr unsicher bezüglich der Bedeutung des Index [Q:A]. Im Fall, dass ord(A)=4 ist habe ich, dass die Untergruppen jeweils Erzeugnisse von I,J oder K sind und die Erzeugnisse jeweils 4 Elemente enthalten. Was besagt mir dann aber der Index ?
Dieser müsste mit dem Satz von Lagrange 2 sein im Fall ord(A)=4
Liebe Grüße und einen schönen Abend
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Kezer
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Mitteilungen: 1121
 | Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-23
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}\)
2020-11-23 18:47 - EuskiPeuski712 in Beitrag No. 2 schreibt:
Wäre es in dem Fall dann trotzdem notwendig zu zeigen, dass diese Untergruppen Normalteiler sind oder gibt es noch einen Trick, der das ganze diesbezüglich abkürzt ?
Natürlich musst du noch beweisen, dass es Normalteiler sind.
2020-11-23 18:47 - EuskiPeuski712 in Beitrag No. 2 schreibt:
Ich bin mir auch sehr unsicher bezüglich der Bedeutung des Index [Q:A]. Im Fall, dass ord(A)=4 ist habe ich, dass die Untergruppen jeweils Erzeugnisse von I,J oder K sind und die Erzeugnisse jeweils 4 Elemente enthalten. Was besagt mir dann aber der Index ?
Dieser müsste mit dem Satz von Lagrange 2 sein im Fall ord(A)=4
Vielleicht kennst du die Aussage, dass alle Untergruppen mit Index $2$ stets Normalteiler sind. Falls nein, dann versuche es zu beweisen, es ist ein schönes Argument und eine nützliche Aussage.
In der Tat gilt diese Aussage für beliebige Primzahlen $p$ statt $2$, aber der Beweis der allgemeinen Aussage ist ein Stück schwieriger als die spezielle Aussage.
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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei\(\endgroup\)
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EuskiPeuski712
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Dabei seit: 06.01.2020
Mitteilungen: 76
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-23
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Die Aussage bezüglich eines Index mit dem Wert 2 habe ich schon in diversen Foren gelesen, aber leider so noch nicht selbst bewiesen. Aber wenn es kein exorbitant großer Beweis ist, könnte man das ja in Betracht ziehen.
Ansonsten wird es tatsächlich eine große Rechnerei. Eine andere Idee wäre noch, man führt eine Verknüpfungstabelle auf und verweist bei der Argumentation darauf.
Wie würde sich der Sachverhalt aber verhalten bei dem Index von 4 ?
Es gibt ja eine Untergruppe mit ord(A)=2, sodass [Q:A]=4 wäre. Gilt die Aussage dann trotzdem, da 4=2² ist ?
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Kezer
Senior
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1121
| Beitrag No.5, eingetragen 2020-11-23
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Es ist kein langer Beweis und eine wichtige Aussage, beweise diese lieber.
Zur Untergruppe mit Ordnung 2, schaue dir die Gruppe nochmal genauer an und überlege wieso aus der Definition folgt direkt, dass sie ein Normalteiler ist.
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EuskiPeuski712
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|  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-23
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Okay, alles klar. Vielen lieben Dank für den Hinweis. Hat mir wirklich sehr geholfen :)
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