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 Stäbchenlegen |
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Bekell
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 |  Themenstart: 2020-11-24
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Wie kommt man, ohne die Fakultät und Kombinatorik zu benutzen, zu einer validen Antwort zu folgender Frage:
Es gibt rote Stäbchen und grüne Stäbchen, je 87 Stück, aber verschiedener Länge.
Die Aufgabe ist nun, sie in zwei parallelen Reihen aneinander zu legen, und zwar streng alternierend, immer ein Rotes und ein Grünes und ein Rotes, so daß folgende Bedingungen erfüllt sind.
1. Strenge Alternation
2. Die beiden Reihen müssen genau gleich lang sein
3. Es darf nie ein rotes Stäbchen gegenüber einem roten Stäbchen zu liegen kommen.
4. Grün gegen grün ist erlaubt.
5. Nach dem Schritt der Zuordnung von je 1 Rot zu je 1 Grün, müssen immer Köpfchen an Schwänzchen liegen, und zwar bei den beiden Reihen in gegensätzlicher Richtung.
Hier die Anzahlen
Rote Stäbchen: Länge, Anzahl {6: 1, 5: 2, 4: 3, 3: 11, 2: 22, 1: 48} Gesamt 87
Grüne Stäbchen: Länge, Anzahl {10: 1, 6: 1, 5: 5, 4: 4, 3: 9, 2: 28, 1: 39} Gesamt 87
Lösungsweg:
1. Rauskürzen gleicher Längen:
Rote Stäbchen: Länge, Anzahl { 5: 0, 4: 0, 3: 2, 2: 0, 1: 9} Gesamt 11
Grüne Stäbchen: Länge, Anzahl {10: 1, 5: 3, 4: 1, 3: 0, 2: 6, 1: 0} Gesamt 11
Wie macht man jetzt weiter?
Zähle wir rote und grüne Werte zusammen, rot 15, grün 41 = zusammen 56 / 2 = 28 also in zwei gleich langen Reihen legbar. Aber was ist mit Bedingung 2?
Oben: G10, R1, G2, R1, G2, R1, G5, R1, G3, R3 = 28
Unten G2, R1, G2, R1, G2, R1, G4, R3, G5, R1, G5, R1 = 28
Ich krieg es nicht hin: Meine Vermutung, es geht nicht, weil unter den Roten Geradzahlige Stäbchen fehlen!
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/23651_St_bchenaufgabe3.png
Was meint Ihr? Wie könnte man das beweisen?
Es sind 0 Rote Stäbchen geradzahlig lang, und 11 rote Stäbchen ungradzahlig lang.
Es sind 3 Grüne Stäbchen ungeradzahlig lang und 8 grüne Stäbchen gradzahlig lang.
Das Ungleichgewicht der 3 grünen ungeradzahligen bekommt man eigentlich durch die 11 ungeradzahligen ausgeglichen, so daß zwei gradzahlige Längen möglich sind.
Lösungsmöglichkeit
Da alle Roten ungeradzahlig sind, versehen wir jetzt mal jedes grüne Stäbchen, egal, wie lang, mit einem roten Köpfchen, egal, wie lang, dann haben wir aus den 8 gradzahlig langen grünen Stäbchen 8 ungeradzahlig lange Stäbchen gemacht, und aus den 3 ungradzahlig langen Grünen machen wir drei gradzahlige Stäbchen.
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/23651_St_bchenaufgabe2.png
Da wir jetzt 8 gradzahlig lange und 3 ungeradzahlig lange Stäbchen mit je einem roten Kopf haben, wissen wir, daß wir so nicht zwei gleich lange Reihen legen können. Es steht also, die Gleichlängigkeit der Stäbchenketten gegen die Überlappungsfreiheit....
Kann das als Beweis der Unmöglichkeit, aus den gegebenen Anzahlen das Geforderte zu leisten gelten?
Man kann übrigens noch weiter kürzen
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/23651_St_bchenaufgabe4.png
Dann erhält man:
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/23651_St_bchenaufgabe5.png
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haegar90
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Mitteilungen: 935
 | Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-25
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\quoteon(2020-11-24 21:58 - Bekell im Themenstart)
Lösungsmöglichkeit
Da alle Roten ungeradzahlig sind, versehen wir jetzt mal jedes grüne Stäbchen, egal, wie lang, mit einem roten Köpfchen, egal, wie lang, dann haben wir aus den 8 gradzahlig langen grünen Stäbchen 8 ungeradzahlig lange Stäbchen gemacht, und aus den 3 ungradzahlig langen Grünen machen wir drei gradzahlige Stäbchen.
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/23651_St_bchenaufgabe3.png
Da wir jetzt 8 gradzahlig lange und 3 ungeradzahlig lange Stäbchen mit je einem roten Kopf haben, wissen wir, daß wir so nicht zwei gleich lange Reihen legen können. Es steht also, die Gleichlängigkeit der Stäbchenketten gegen die Überlappungsfreiheit....
Kann das als Beweis der Unmöglichkeit, aus den gegebenen Anzahlen das Geforderte zu leisten gelten?
\quoteoff
\showon Ich würde sagen, nein das ist kein Beweis, zumal es auch nicht stimmt.
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/51352_besser.jpg
\showoff
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Bekell
Aktiv
Dabei seit: 05.09.2008
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-25
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haut mich um!
vor allem, dann sind meine Kürzungsoptionen ja illegal, gehen also nicht, denn erst die Vielzahl der kleinen Stäbchen macht Optionen möglich, oder?
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haegar90
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| Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-25
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\quoteon(2020-11-25 10:59 - Bekell in Beitrag No. 2)
haut mich um!
vor allem, dann sind meine Kürzungsoptionen ja illegal, gehen also nicht, denn erst die Vielzahl der kleinen Stäbchen macht Optionen möglich, oder?
\quoteoff
Nein, das Kürzen ist kein Problem, ändert ja nichts.
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DerEinfaeltige
Senior
Dabei seit: 11.02.2015
Mitteilungen: 3281
 | Beitrag No.4, eingetragen 2020-11-25
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\quoteon(2020-11-25 11:07 - haegar90 in Beitrag No. 3)
Nein, das Kürzen ist kein Problem, ändert ja nichts.
\quoteoff
Doch, das "Rauskürzen" gleicher Längen ändert etwas.
Man verliert potentielle Lösungen.
Einfaches Beispiel:
G = {2: 1, 3: 1}
R = {1: 1, 2: 1}
Falls die Anzahl der grünen und roten Stäbchen immer gleich ist bzw. sich nur um 1 unterscheidet, gilt immerhin die Umkehr:
Ein lösbares Problem bleibt durch zusätzliche Paare lösbar.
Gibt es zwei zusätzliche grüne Stäbchen, so gilt auch das nicht mehr.
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haegar90
Wenig Aktiv
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| Beitrag No.5, eingetragen 2020-11-25
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\quoteon(2020-11-25 12:14 - DerEinfaeltige in Beitrag No. 4)
\quoteon(2020-11-25 11:07 - haegar90 in Beitrag No. 3)
Nein, das Kürzen ist kein Problem, ändert ja nichts.
\quoteoff
Doch, das "Rauskürzen" gleicher Längen ändert etwas.
Man verliert potentielle Lösungen.
Einfaches Beispiel:
G = {2: 1, 3: 1}
R = {1: 1, 2: 1}
Falls die Anzahl der grünen und roten Stäbchen immer gleich ist bzw. sich nur um 1 unterscheidet, gilt immerhin die Umkehr:
Ein lösbares Problem bleibt durch zusätzliche Paare lösbar.
Gibt es zwei zusätzliche grüne Stäbchen, so gilt auch das nicht mehr.
\quoteoff
Ja stimmt, es ist aber hier nicht von Bedeutung da es ja eine Lösung mit "geküzter" Anzahl an Stäbchen gibt, mit der die Unmöglichkeit einer Lösung bereits zu widerlegen ist.
Gäbe es keine Lsg. mit "gekürzter" Anzahl, so wäre dann natürlich die Lösungssuche auf die Gesamtanzahl aller Möglichkeiten auszuweiten.
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Bekell
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-25
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Bekell
Aktiv 
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-25
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Dann scheint es so zu sein. Wenn man eine "unglückliche" Lösung, bzw. Anordnung hat, kann man durch Kürzen auch nichts mehr ändern ...
\quoteon(2020-11-25 12:27 - haegar90 in Beitrag No. 5)
Gäbe es keine Lsg. mit "gekürzter" Anzahl, so wäre dann natürlich die Lösungssuche auf die Gesamtanzahl aller Möglichkeiten auszuweiten.
\quoteoff
Das übersteigt dann leicht die Möglichkeiten desComputers, denn es gibt doch vor dem 1. Kürzen 87! Möglichkeiten, nach dem zweiten immerhin noch 11!
\quoteon(2020-11-25 12:27 - Einfältiger in Beitrag No. 5)
Gibt es zwei zusätzliche grüne Stäbchen, so gilt auch das nicht mehr.
\quoteoff
Da ja strenge Alternation gefordert ist, gibt es die Möglichkeit, zwei grüne Stäbchen nicht mehr. Es können nur zwei grüne Stäbchen mit rotem Kopf dazukommen. Also von der Mindestgesamtlänge 2.
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