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Strukturen und Algebra » Ringe » Einheitengruppe des Potenzreihenrings
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Universität/Hochschule Einheitengruppe des Potenzreihenrings
NameWarVergeben
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-11-25


Hallo,

ich versuche gerade folgendes zu zeigen:

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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-25


Hallo,

$a_0 $ ist doch definitionsgemäß (wie alle $a_k$)aus $R$. Irgendwie verstehe ich deine Frage nicht.

Es muss $a_0\cdot b_0=1$ gelten. Zusätzlich muss $\displaystyle \sum_{k=0}^ma_kb_{m-k}=0$ für alle $m>0$ gelten. Dann ist
\[
\left(\sum_{k=0}^\infty a_kX^k\right)\cdot \left(\sum_{k=0}^\infty b_kX^k\right) = 1
\]
Du hast bisher: Wenn $f$ eine Einheit in $R[[X]]$ ist, dann ist auch $a_0$ eine Einheit in $R$ (und eben auch in $R[[X]]$). Wie zeigst du, dass wenn $a_0$ eine Einheit in $R$ ist, $f$ eine Einheit in $R[[X]]$ ist?



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NameWarVergeben
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-26


Hallo,

ja die Frage war etwas dumm formuliert aber es hat sich schon geklärt.

Habe versucht die Rückrichtung zu beweisen aber es noch nicht geschafft.
Hast du vielleicht einen Tipp?


MfG



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-26


Wenn du das Inverse $\displaystyle g=\sum_{k=0}^\infty b_kX^k$ von $\displaystyle f=\sum_{k=0}^\infty a_kX^k$ suchst, kannst du die $b_m$ irgendwie rekursiv definieren. Wie genau?



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-11-27


Alternative zum Koeffizientenvergleich: Indem man mit $-a_0^{-1}$ durch multipliziert, läuft es ja darauf hinaus, folgendes zu zeigen: jede Potenzreihe der Form $1 - Xp$ (mit irgendeiner Potenzreihe $p$) ist invertierbar. Dafür kann man sich der geometrischen Reihe bedienen:

$\displaystyle (1-Xp)^{-1} = \sum_{k=0}^{\infty} p^k X^k $

Das ist zumindest erst einmal nur die Idee. Aber man kann leicht davon überzeugen, dass die rechte Seite tatsächlich wohldefiniert ist (was den Koeffizienten von $X^k$ angeht, werden nur endlich viele Terme summiert; das ist gerade die $X$-adische Vollständigkeit von $R[[X]]$ übrigens), und tatsächlich zu $1-Xp$ invers ist.



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