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  Überabzählbare Mengen |
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JamesNguyen
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 08.11.2020
Mitteilungen: 300
 |  Themenstart: 2020-11-25
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Hallo Leute,
I weiß nicht wie ich bei folgender Aufgabe beginnen soll
A ist eine Menge
f : A -> 2^A ist eine Funktion von A in die Potenzmenge 2^A
außerdem ist
M := { x \el A \| x \notel f(x) }
Zeige: f(a) != M für alle a \el A
Hinweis: Führe eine Fallunterscheidung, ob a \el M oder a \notel M
gilt
Gruß,
James
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10900
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-25
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
dazu nimmst du zunächst die Surjektivität der Abbildung \(f\) an und bringst diese Annahme vermittels des gegebenen Hinweises zum Widerspruch.
EDIT: sorry, hier hatte ich mich vertan. Das ist ja hier nur ein Teil des sonst üblichen Beweises, dass eine solche Abbildung nicht surjektiv und damit nicht bijektiv sein kann.
Für deine Frage musst du einfach die beiden Annahmen aus dem Hinweis jeweils zum Widerspruch führen. Siehe dazu auch den nächsten Beitrag.
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Logik, Mengen & Beweistechnik' in Forum 'Relationen und Abbildungen' von Diophant]\(\endgroup\)
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Red_
Aktiv 
Dabei seit: 28.09.2016
Mitteilungen: 1009
 | Beitrag No.2, eingetragen 2020-11-25
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\quoteon
dazu nimmst du zunächst die Surjektivität der Abbildung \(f\) an
\quoteoff
Du meinst wahrscheinlich $f(a)=M$ solle man annehmen für ein $a$?
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10900
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-25
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@Red_:
Ich hatte die Aufgabe nicht gründlich genug durchgelesen. Danke für den Hinweis, ich habe meine Antwort noch angepasst.
Gruß, Diophant
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SabineMueller
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 20.12.2012
Mitteilungen: 314
| Beitrag No.4, eingetragen 2020-11-25
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Hallo zusammen,
darf ich hier nur mal kurz einhaken?: Ist M eigentlich die "Russel-Menge" - also die Menge aller Menschen/Kreter, die sich nicht selbst rasieren?🤔
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.3 begonnen.]
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Kitaktus
Senior
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 7234
Wohnort: Niedersachsen
| Beitrag No.5, eingetragen 2020-11-25
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\quoteon(2020-11-25 16:22 - Red_ in Beitrag No. 2)
\quoteon
dazu nimmst du zunächst die Surjektivität der Abbildung \(f\) an
\quoteoff
Du meinst wahrscheinlich $f(a)=M$ solle man annehmen für ein $a$?
\quoteoff
Ein Widerspruchsbeweis muss man gar nicht führen. Man kann mit der vorgeschlagenen Fallunterscheidung auch ganz direkt zeigen, dass für alle $a$ gilt: $f(a)\neq M$.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]
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Kitaktus
Senior
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 7234
Wohnort: Niedersachsen
| Beitrag No.6, eingetragen 2020-11-25
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\quoteon(2020-11-25 16:48 - SabineMueller in Beitrag No. 4)
Hallo zusammen,
darf ich hier nur mal kurz einhaken?: Ist M eigentlich die "Russel-Menge" - also die Menge aller Menschen/Kreter, die sich nicht selbst rasieren?🤔
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.3 begonnen.]
\quoteoff
Mit der entsprechenden Interpretation -- $f(x)$ ist die Menge an Personen, die $x$ rasiert -- ja.
Das Fazit ist dann: Es gibt niemanden, der genau die Personen rasiert, die in M liegen (also die, die sich nicht selbst rasieren).
Weitergedacht heißt das: Es gibt keine Bijektion zwischen $A$ und $2^A$.
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SabineMueller
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 20.12.2012
Mitteilungen: 314
| Beitrag No.7, eingetragen 2020-11-25
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Hi Kitaktus,
noch eine andere Frage in diesem Zusammenhang: Ich habe mal gelernt, dass man immer, wenn man eine Menge definiert (z. B. in einem Beweis) klären muss, ob die definierte Menge nichtleer ist, d. h. dass es überhaupt Elemente gibt, die in der Menge liegen. Müsste man nicht eigentlich auch immer klären, ob man da die Russel-Menge (also eine Klasse) definiert hat?
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Kitaktus
Senior
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 7234
Wohnort: Niedersachsen
| Beitrag No.8, eingetragen 2020-11-25
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Das man immer klären müsste, ob eine Menge leer ist, ist vermutlich eine Fehlinterpretation einer anders gemeinten Aussage.
Die Menge meiner Kinder, die 2022 zur Welt kommen, ist sicher eine Menge. Ob sie leer ist oder nicht, vermag heute noch keiner zu sagen.
Da Du offenbar auf die Russellsche Antinomie anspielst. Hier muss man genauer unterscheiden. Die Menge der Personen, die sich nicht selbst rasieren _ist_ eine Menge. Da ist nichts widersprüchliches dran. Ein Paradox entsteht erst, wenn ich behaupte, es gäbe jemanden, der alle diese Personen und nur diese rasiert.
Auf Mengen übertragen, sähe das Paradox so aus:
Sei $A$ die Menge aller "Mengen vom Typ 1". Wir bilden nun eine Teilmenge $M$ von $A$, in die wir alle die Elemente von $A$ aufnehmen, die sich nicht selbst enthalten.
Die Annahme, dass $M$ eine "Menge vom Typ 1" ist, führt jetzt zum Widerspruch! $M$ ist also irgendetwas anderes. Vielleicht nennen wir $M$ auch "Menge", aber es ist jedenfalls keine Menge vom Typ 1.
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SabineMueller
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 20.12.2012
Mitteilungen: 314
| Beitrag No.9, eingetragen 2020-11-25
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Alles klar. Danke für die Antwort.
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JamesNguyen
Wenig Aktiv
Dabei seit: 08.11.2020
Mitteilungen: 300
| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-25
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Vielen Dank für die Antworten
Also ich hab jetzt gesagt
Sei a \el A
dann ist
a \el M <=> a\notel f(a)
und
a \notel M <=> a \el f(a)
Beide Aussagen sind äquivalent und implizieren
M != f(a)
Ist das falsch?
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10900
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.11, eingetragen 2020-11-25
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Hallo,
äquivalent sind die beiden Aussagen untereinander aber nicht (sonst bräuchte man sie ja nicht beide). Beides für sich genommen sind Äquivalenzen. Meintest du es so?
Nachtrag:
Hier liegt ein zweifacher Irrtum vor: die beiden Aussagen für sich sind so wie oben notiert falsch, denn das sind 'nur' Implikationen, keine Äquivalenzen. Und darum braucht man auch beide Fälle.
Jedenfalls hast du damit die Behauptung gezeigt. So war also der Hinweis gedacht.
Gruß, Diophant
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JamesNguyen
Wenig Aktiv
Dabei seit: 08.11.2020
Mitteilungen: 300
| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-25
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Ok danke
aber ist nicht
A <=> B
äquivalent zu
\not A <=> \not B
und kann ich bereits aus jeder der beiden einzelnen Äquivalenzen von mir
M ungleich f(a) folgern? oder brauch ich beide
Aber ja eig steht da Fallunterscheidung
ok also wenn a in A
ist dann ist
a entweder in M oder nicht in M
also hat man alle Elemente a in A angeschaut wenn
man sich a in M und a nicht in M anschaut
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