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Logik, Mengen & Beweistechnik » Mengenlehre » Potenzmenge (kurz)
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Universität/Hochschule Potenzmenge (kurz)
JamesNguyen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-11-25


Hallo,

kurze Frage

es ist doch falsch zu schreiben

fed-Code einblenden

Gruß

James



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-25

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

kurze Antwort:

2020-11-25 15:53 - JamesNguyen im Themenstart schreibt:
fed-Code einblenden

Ja.

Die Schreibweise der Potenzmenge als Zweierpotenz sieht man ja in letzter Zeit häufiger. Die korrekte Schreibweise muss meiner Kenntnis nach aber \(2^{|A|}\) lauten.


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Logik, Mengen & Beweistechnik' in Forum 'Mengenlehre' von Diophant]
\(\endgroup\)


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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-11-25


Hi,
kurze Antwort: ja, richtig ist $A\in 2^A$ :)

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-25

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}\)
(Allerdings gibt es natürlich Beispiele, wo $A \subseteq 2^A$ gilt.)


-----------------
The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei
\(\endgroup\)


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Red_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-11-25


2020-11-25 16:05 - Kezer in Beitrag No. 3 schreibt:
(Allerdings gibt es natürlich Beispiele, wo $A \subseteq 2^A$ gilt.)

Hey, ich glaube das gilt nur für $A=\emptyset$, wenn ich mich nicht irre?
Ja, das müsste stimmen, nutze das Fundierungsaxiom von ZF.



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Red_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-11-25

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Die Schreibweise der Potenzmenge als Zweierpotenz sieht man ja in letzter Zeit häufiger. Die korrekte Schreibweise muss meiner Kenntnis nach aber \(2^{|A|}\) lauten.

Theoretisch sind beide Bezeichnungen nicht korrekt. Die Potenzmenge von $A$ ist $P(A)$. Die Menge $2^A$ ist per Definition die Menge aller Abbildungen von $A$ nach $\lbrace 0,1\rbrace$. Sind zwar bijektiv, aber es geht um die Bezeichnung der Elemente.
\(\endgroup\)


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-11-25


@Red_:
Ok, danke für den Hinweis. Ich kannte halt bisher nur die Schreibweise per Mächtigkeit und habe mir über die Korrektheit nie wirklich Gedanken gemacht. Letztendlich ist eine Schreibweise ja eh Definitionssache.


Gruß, Diophant



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Red_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-11-25


Ja, ich glaube Schreibweisen muss man lernen und mir wurde beigebracht $X^Y$ ist die Menge aller Abbildungen von $Y$ nach $X$ für zwei Mengen $X$ und $Y$.



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-11-25

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}\)
2020-11-25 16:09 - Red_ in Beitrag No. 4 schreibt:
Hey, ich glaube das gilt nur für $A=\emptyset$, wenn ich mich nicht irre?

Hatte ich zunächst auch gedacht, aber betrachte z.B. $A = \{\emptyset \}$. Schau auch mal hier.


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Red_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-11-25


Ahh stimmt, danke Kezer. Ich hatte einen Denkfehler beim hantieren von Mengen von Mengen...



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-11-25


$A \subseteq P(A)$ gilt genau für transitive Mengen. Ordinalzahlen sind wichtige Beispiele von transitiven Mengen.



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-11-25

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
2020-11-25 16:02 - Diophant in Beitrag No. 1 schreibt:
Die Schreibweise der Potenzmenge als Zweierpotenz sieht man ja in letzter Zeit häufiger. Die korrekte Schreibweise muss meiner Kenntnis nach aber \(2^{|A|}\) lauten.

Diese Notation ist meines Wissens völlig unüblich, denn mit |A| wird ja normalerweise die Mächtigkeit (Kardinalität) von A bezeichnet, und es gilt etwa \(|\IN|=|\IQ|\) aber \({\cal P}(\IN)\neq{\cal P}(\IQ)\).
\(\endgroup\)


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2020-11-25

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
@StrgAltEntf:
Du hast recht, da hat mir die Erinnerung einen Streich gespielt. \(2^{|A|}\) ist ja einfach nur die Mächtigkeit der Potenzmenge \(\mathcal{P}(A)\).


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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JamesNguyen hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
JamesNguyen hatte hier bereits selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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