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pi2
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-11-25


Servus!

In einer Übungsaufgabe soll für einen Kern mit kugelsysmmetrischer Ladungsverteilung \(\rho(\vec{r})=\rho(r)\) aus dem Formfaktor \(F(\vec{r}) = \int \! \rho(\vec{r})e^{\mathrm{i}\vec{q}\cdot\vec{r}} \, \mathrm{d}^3\vec{r} \) gefolgert werden, dass \(F(\vec{r}) = \frac{4\pi}{q} \int \! \rho(r) \sin(qr) r \, \mathrm{d}r \). Dabei ist \(\vec{q}=\vec{p}-\vec{p}'\) der Impulsübertrag, \(r=|\vec{r}|\) und \(q=|\vec{q}|\).


Also... Ich hatte mir überlegt, wenn ich in Kugelkoordinaten z-Achse und \(\vec{q}\) kollinear wähle, dann gilt doch einfach \(\vec{q}\cdot\vec{r} = qr\cos\theta\).

Weiter gilt in Kugelkoordinaten ja \(\int \!  \, \mathrm{d}^3\vec{r} = \int_0^\infty \! \int_{-1}^1 \! \int_0^{2\pi} \! r^2 \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}(\cos\theta) \, \mathrm{d}\varphi \). Damit erhalte ich

\(F(\vec{r}) = \int_0^\infty \! \int_{-1}^1 \! \int_0^{2\pi} \! \rho(r)e^{\mathrm{i}qr\cos\theta}r^2 \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}(\cos\theta) \, \mathrm{d}\varphi \)
\(\color{white}{F(\vec{r})} = 2\pi \int_0^\infty \! \int_{-1}^1 \rho(r)e^{\mathrm{i}qr\cos\theta}r^2 \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}(\cos\theta)\).

Wie komme ich bei der \(\theta\)-Integration weiter? Dieses \(\mathrm{d}(\cos\theta)\) blockiert mich total... 🥵


wbr Mike

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piquer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-25


Hi Mike,

willkommen im Forum! Du bist schon fast am Ziel. Schreib $z = \cos \theta$ und beachte, dass du ganz einfach eine Stammfunktion von $z \mapsto e^{a z}, a \in \IC$ bilden kannst.

Viele Grüße
Torsten

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pi2
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-25


Danke für den Tipp, Thorsten 🙂.

Jetzt hängt es nur noch an den Integrationsgrenzen... Habe so eine Substitution länger nicht gemacht:

\(z=\cos\theta\), also \(\mathrm{d}(\cos\theta) = \mathrm{d}z\). Die Integrationsgrenzen waren ursprünglich \(\cos\theta=-1\) bis \(\cos\theta=1\)... Hm, bleiben die jetzt einfach so? Ja, oder? 🤔

Edit: Ja doch klar... die Substitution habe ich ja vorhin durchgeführt 😉. Ich hab's! 🙂

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