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Analysis » Rationale und reelle Zahlen » Supremum einer Menge zeigen
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Universität/Hochschule Supremum einer Menge zeigen
WagW
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-11-25


Hallo zusammen,

sei $f:I\to\mathbb{R}$ eine stetige Funktion, $[x,x_0]\subseteq I$ und $M_x:=\sup\{f(y)\mid y\in[x,x_0]\}$.

Zeige, dass das Supremum den Wert $f(x_0)$ annimmt, wenn $x\to x_0$.

Kommilitonen haben das etwas aufwendiger mithilfe des $\epsilon$-$\delta$-Kriteriums gezeigt.

Ich frage mich warum man da überhaupt etwas groß zeigen sollte, gilt nicht direkt:

$\lim\limits_{x\to x_0}M_x=\lim\limits_{x\to x_0}\sup\{f(y)\mid y\in[x,x_0]\}=\sup\{f(y)\mid y\in[x_0,x_0]\}=f(x_0)$.

Und wozu braucht man die Stetigkeit? Wenn das Intervall doch nur noch aus $x_0$ besteht, dann ist doch klar, dass es nur noch $f(x_0)$ gibt.

viele Grüße
WagW




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sonnenschein96
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-25


Hallo WagW,

Du musst das schon sauber beweisen und Dich dabei an alle Definitionen halten.


2020-11-25 20:03 - WagW im Themenstart schreibt:
$\lim\limits_{x\to x_0}M_x=\lim\limits_{x\to x_0}\sup\{f(y)\mid y\in[x,x_0]\}=\sup\{f(y)\mid y\in[x_0,x_0]\}=f(x_0)$.

Und wozu braucht man die Stetigkeit? Wenn das Intervall doch nur noch aus $x_0$ besteht, dann ist doch klar, dass es nur noch $f(x_0)$ gibt.

Die mittlere Gleichung stimmt eben im Allgemeinen nicht. Du kannst nicht einfach überall \(x\) durch \(x_0\) ersetzen, das ist nicht wie der Grenzwert definiert ist.

Schau Dir mal die Intervalle \([x,0]\) mit \(x<0\) an (hier ist \(x_0=0\)) und nimm an, dass \(f(x)=1\) für \(x<0\) und \(f(0)=0\). Dann ist \(M_x=1\) für alle \(x<0\) und damit auch \(\lim_{x\to0}M_x=1\), während eben \(f(0)=0\) ist.




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