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  Überabzählbare Mengen Teil 3 |
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JamesNguyen
Aktiv 
Dabei seit: 08.11.2020
Mitteilungen: 300
 |  Themenstart: 2020-11-25
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Hallo,
f : A -> 2^A ist eine Funktion von A in die Potenzmenge 2^A
außerdem ist
M := { x \el A \| x \notel f(x) }
Es sei bereits gezeigt: f(a) != M für alle a \el A
Es ist außerdem der Satz von Cantor gezeigt:
Für jede Menge A gilt \|A\| != \|(2^A)\|
Ich weiß also auch für A = \IN gilt
\|\IN\| != \|(2^\IN)\|
wie kann man nun begründen dass 2^\IN überabzählbar ist?
Gruß,
James
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JamesNguyen
Aktiv 
Dabei seit: 08.11.2020
Mitteilungen: 300
| Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-25
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10924
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.2, eingetragen 2020-11-25
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hi,
\quoteon(2020-11-25 20:15 - JamesNguyen im Themenstart)
wie kann man nun begründen dass \IN überabzählbar ist?
\quoteoff
überhaupt nicht: weil es nicht stimmt. Vermutlich ist die Überabzählbarkeit von \(2^{\IN}\) gemeint?
Falls ja: was sagen dir die sog. Cantor'schen Diagonalverfahren?
Gruß, Diophant
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]\(\endgroup\)
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JamesNguyen
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Dabei seit: 08.11.2020
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-25
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Äh tut mir leid
man soll sagen, dass 2^\IN
überabzählbar ist
Vielen Dank,
James
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
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| Beitrag No.4, eingetragen 2020-11-25
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Hallo,
ok. Und das ist jetzt schon gelöst oder hast du dazu Fragen?
Gruß, Diophant
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JamesNguyen
Aktiv
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-25
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äh ja noch nicht gelöst
also in der Aufgabe steht
(b) Folgern Sie aus (a) den Satz von Cantor: Für Jede Menge A gilt |A| = |2^A|
(c) Folgern Sie aus (b) dass die Potenzmenge 2^IN überabzählbar ist
geht dass dann auch alleine aus (b)?
also ich weiß, dass überabzählbar heißt, wenn A weder endlich noch abzählbar unendlich ist..
und abzählbar unendlich, wenn |A| = |IN|
aus (b) weiß ich, dass 2^IN nicht abzählbar unendlich ist.
Wie kann ich nun begründen das 2^IN nicht endlich ist?
Danke,
James
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JamesNguyen
Aktiv
Dabei seit: 08.11.2020
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-25
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Also ich hätte jetzt behauptet
die Potenzmenge einer abzählbar unendlichen Menge ist nicht endlich?
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Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
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Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.7, eingetragen 2020-11-25
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
ist dir überhaupt klar, was die beiden Begriffe abzählbar und überabzählbar bedeuten? Offensichtlich nicht.
Der klassische Beweis für die Überabzählbarkeit von \(2^{\IN}\) geht mittels dem 2. Cantor'schen Diagonalverfahren (bzw. eigentlich mit beiden Diagonalverfahren, um genau zu sein).
Sagt dir das etwas?
Vielleicht präzisisierst du zunächst einmal, was dir da eigentlich unklar ist, inwieweit du die Begriffe verstanden hast usw. usf.
Und da dürfen die Rückfragen ruhig auch einmal etwas ausführlicher sein und sorgfältiger formuliert.
Es ist zwar ein platter Spruch und er ist im Lauf der Jahre schon hundertfach verwendet worden: aber der MP ist kein Chat sondern ein seriöses Fachforum. Dementsprechend sollte dann auch die Arbeitsweise gewählt werden.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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JamesNguyen
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-25
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Tut mir leid,
Folgendes weiß ich:
Zwei Mengen A und B sind gleichmächtig
wenn es eine bijektive Abbildung von A nach B gibt.
Dann kann man |A| = |B| schreiben
(im Falle von endlichen Mengen, haben beide Mengen
die gleiche Anzahl von Elementen)
Eine Menge ist dann abzählbar unendlich, wenn
|A| = |IN| gilt
(wir müssen also eine bijektive Abbildung von A nach IN
oder von IN nach A finden, bspw. durch eine explizite
Abbildungsvorschrift)
Eine Menge ist überabzählbar, wenn A weder endlich noch abzählbar unendlich ist.
Das Diagonalverfahren kenne ich dem Namen nach nicht
aber ich habe gesehen,
dass man die positiven rationalen Zahlen Q
mit den natürlichen Zahlen abzählen kann. Und deshalb
die positiven rationalen Zahlen abzählbar unendlich ist
Gruß,
James
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10924
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.9, eingetragen 2020-11-25
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo nochmals,
\quoteon(2020-11-25 20:15 - JamesNguyen im Themenstart)
\|\IN\| != \|(2^\IN)\|
wie kann man nun begründen dass 2^\IN überabzählbar ist?
\quoteoff
Du hast eine Definition von 'überabzählbar unendlich' (die hätte in den Themenstart gehört).
Wenn du die Tatsache, dass die Abbildung \(f(a)\) nicht surjektiv ist noch auf \(A=\IN\) anwendest, dann kannst du die Ungleichheit
\[\left|\IN\right|\neq\left|2^{\IN}\right|\]
noch präzisieren und bekommst die gewünschte Aussage, und zwar mit diesem Argument:
\quoteon(2020-11-25 21:04 - JamesNguyen in Beitrag No. 8)
Eine Menge ist überabzählbar, wenn A weder endlich noch abzählbar unendlich ist.
\quoteoff
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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JamesNguyen
Aktiv
Dabei seit: 08.11.2020
Mitteilungen: 300
| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-26
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Sehr schön, danke.
Ich musste etwas über den Punkt Surjektivität nachdenken,
aber ja macht Sinn. Danke!
James
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JamesNguyen hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
JamesNguyen hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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