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 Trigonometrische Formel auf beliebige reelle Winkel erweitern |
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Wario
Aktiv 
Dabei seit: 01.05.2020
Mitteilungen: 299
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Grundsatzfrage:
Wurde eine trigonometrische Formel an einer geometrischen Betrachtung bewiesen, z.B. wurde die Formel
$\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b)$ am rechtwinkligen Dreieck hergeleitet;
dann sind alle auftretenden Winkel $a+b,~ a,~ b$ spitze Winkel (d.h. größer oder gleich $0^\circ$ und kleiner als $90^\circ$).
Wie zeigt man einfach, dass die Formel für beliebige reelle Winkel gilt?
Ich hatte mir das so überlegt:
· Wegen $\sin(\pi-x)=\sin(x)$ gilt die Formel auch für stumpfe Winkel (d.h. größer oder gleich $90^\circ$ und kleiner als $180^\circ$)
· Wegen zusätzlich $\sin(y+2\pi k)=\sin(y)$ gilt die Formel auch für beliebige reelle Winkel.
Reicht diese Argumentation so?
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MontyPythagoras
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Dabei seit: 13.05.2014
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Herkunft: Werne
 |      Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-27
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Hallo Wario,
am einfachsten zeigt man das wahrscheinlich mithilfe der Eulerschen Formel $e^{ix}=\cos x+i\sin x$.
Ciao,
Thomas
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Wario
Aktiv
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-27
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2020-11-27 17:10 - MontyPythagoras in Beitrag No. 1 schreibt:
am einfachsten zeigt man das wahrscheinlich mithilfe der Eulerschen Formel $e^{ix}=\cos x+i\sin x$.
Das ist keine schlechte Idee. Ich wollte es aber möglichst im Reellen halten, damit es für weitere Jahrgangsstufen einsetzbar ist.
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Caban
Senior
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 | Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-27
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Folgender Ansatz über Kosinussatz: In einem allgemeinen Dreieck gilt: \gamma=180°-\alpha-\beta sin(\alpha+\beta)=sin(180°-\gamma)=sin(\gamma)=sin(\alpha)*(a^2+c^2-b^2)/(2*a*c)+(b^2+a^2-c^2)/(2*b*c)*sin(\beta) Über den Sinussatz kann man die Längen wieder entfernen. Gruß Caban
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Wario
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-28
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Das ist m.E. nicht ganz mein Thema. Die Formel war auch nur exemplarisch genannt.
Ich habe die notwendigen Erläuterungen genannt. Die Frage ist, ob das so ausreicht.
2020-11-27 17:01 - Wario im Themenstart schreibt:
· Wegen $\sin(\pi-x)=\sin(x)$ gilt die Formel auch für stumpfe Winkel (d.h. größer oder gleich $90^\circ$ und kleiner als $180^\circ$)
· Wegen zusätzlich $\sin(y+2\pi k)=\sin(y)$ gilt die Formel auch für beliebige reelle Winkel.
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lula
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Dabei seit: 17.12.2007
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Herkunft: Sankt Augustin NRW
 | Beitrag No.5, eingetragen 2020-11-28
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Hallo
ich verstehe die Frage nicht ganz, die Formel hat doch nichts mit rechtwinkligen Dreiecken zu tun sondern galt und gilt schon immer für je 2 beliebige Winkel a und b, auch wenn bei einem Beweis den du vielleicht meinst auch mal rechte Winkel vorkommen .
bis dann, lula
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Mein Leben ist zwar recht teuer, aber dafür bekomm ich jedes Jahr umsonst eine Reise einmal um die Sonne
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Wario
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-28
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2020-11-28 00:33 - lula in Beitrag No. 5 schreibt:
ich verstehe die Frage nicht ganz, die Formel hat doch nichts mit rechtwinkligen Dreiecken zu tun sondern galt und gilt schon immer für je 2 beliebige Winkel a und b, auch wenn bei einem Beweis den du vielleicht meinst auch mal rechte Winkel vorkommen .
Das
2020-11-27 17:01 - Wario im Themenstart schreibt:
Wie zeigt man einfach, dass die eine trigonometrische Formel für beliebige reelle Winkel gilt? ist eigentlich sowas wie eine Standardfragestellung.
Diese wird meist im Einzefall geklärt. Aber das interessiert mich eben allgemein.
Ich meine #1 hat das auch verstanden.
Aber sobald man ein Beispiel nennt, gibt es scheinbar nichts mehr anderes im Universum.
Dann nimm von mir aus den trigonometrischen Satz des Pythagoras:
aus einem rechtwinkligen Dreieck mit Hypotenuse $c$ folgt sofort $
c^2 = (c \sin(\alpha))^2 + (c \cos(\alpha))^2$, d.h. $
\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) =1$. Aber $\alpha$ ist grundsätzlich positiv und kleiner als $90^\circ$. Wie zeigt man (mit reeller Rechnung / Betrachtung), dass die Formel für beliebige reelle Winkel gilt.
Und das ist übrigens wieder nur ein willkürliches Beispiel - falls das unklar sein sollte -, d.h. ich möchte nicht den trigonometrischen Satz des Pythagoras auf irgendeine andere Weise herleiten, wo sich die Frage erübrigt.
In der Hoffung das es jetzt irgendwie klar geworden ist...
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StefanVogel
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| Beitrag No.7, eingetragen 2020-11-28
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DerEinfaeltige
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 | Beitrag No.8, eingetragen 2020-11-28
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Auf Niveau 10. Klasse Gymnasium Hessen würde ich mit den Identitäten der trigonometrischen Funktionen arbeiten, die sich am Einheitskreis ablesen lassen.
Die Periodizität der Lösungen ist dann sofort klar und eine Erweiterung auf stumpfe Winkel kann man bspw. nachrechnen, indem man $\alpha=180^\circ - \beta$ substituiert.
PS.: Wie man mit dem Identitätssatz arbeiten soll, ohne überhaupt komplexe Zahlen, holomorphe Funktionen etc. definieren zu können, ist mir schleierhaft.
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Why waste time learning when ignorance is instantaneous?
- Bill Watterson -
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StefanVogel
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| Beitrag No.9, eingetragen 2020-11-28
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@DerEinfältige: Hallo DerEinfältige, das geht mit der Black Box Methode. Man muss sich nur davon überzeugen, dass die trigonometrischen Funktionen holomorphe Funktionen sind, siehe zum Beispiel Holomorphe_Funktion#Ganze_Funktionen und Eigenschaften. Dann folgt daraus die Behauptung und braucht man sich überhaupt nicht darum zu kümmern, was überhaupt komplexe Zahlen, holomorphe Funktionen etc. sind.
Viele Grüße,
Stefan
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DerEinfaeltige
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| Beitrag No.10, eingetragen 2020-11-28
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1. Wie überzeugt man sich, dass die trigonometrischen Funktionen holomorph sind, ohne bspw. oberstufenanalytische Begrifflichkeiten zu gebrauchen?
2. Was nützt das, um relativ allgemein verschiedene, geometrische Identitäten - insbesondere jene, die auf nichtholomorphen Termen basieren und daher nur für reelle Argumente gelten - zu beweisen?
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StefanVogel
Senior
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| Beitrag No.11, eingetragen 2020-11-28
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zu 1. Nachschlagen unter Beispiele für holomorphe Funktionen wie oben im Link "Ganze Funktionen"
zu 2. Das nützt soweit, dass man sich Beweisversuche für Identitäten holomorpher Funktionen ersparen und sich gleich um die Identitäten nichtholomorpher Funktionen kümmern kann, zum Beispiel \(|\sin(\alpha)|=\sin(\alpha)\).
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Wally
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 | Beitrag No.12, eingetragen 2020-11-28
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Stefan,
das ist ungefähr so aussagekräftig als wenn ich ein Dokument ausstelle, dass die Identitäten auch für beliebige Winkel richtig sind und mit Namen und Titel unterschreibe.
Otto Waalkes hat's mal so formuliert:
Es ist jetzt erwiesen, dass Rauchen unschädlich ist.
gez. Dr. Marlboro
Viele Grüße
Wally
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Wario
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| Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-28
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Und es reicht nicht zu sagen, ich kann mit
$\sin(\pi-x)=\sin(x)$ und $\sin(y+2\pi k)=\sin(y)$ jeden Winkel $x$ bzw. $y$ auf einen spitzen Winkel zurückführen?
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StefanVogel
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| Beitrag No.14, eingetragen 2020-11-28
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Die "überstumpfen" Winkel von 180° bis 360° sind nicht dabei wenn du diese mit zu "alle Winkel" zählst und der Kosinus wechselt schon bei 90° das Vorzeichen, \(\cos(\pi-x)=-\cos(x)\). Da muss man dann \(-\cos(x)\) in die Gleichung einsetzen und schauen, ob sie dann noch stimmt. Wenn du alle Quadranten so durchgehst und in die Gleichung einsetzt und nachprüfst, dann gilt das schon als Beweis. Nur allein  und  reicht nicht.
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