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Universität/Hochschule Teilmengen, die echte Intervalle sind
kirill91
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-11-28


guten tag, ich verstehe die aufgabenstellung nicht so recht? was wird hier gen genau verlangt? bzw kann jemand einen beispiel geben was hier zu tun ist?




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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-28


2020-11-28 16:17 - kirill91 im Themenstart schreibt:
was wird hier gen genau verlangt?

Hallo kirill91,

in Aufg. 1 und Aufg. 2 wird zwei Mal der Begriff "Intervall" bzw. "echtes Intervall" eingeführt. Du sollst zeigen, dass diese Definitionen übereinstimmen.

Als erstes müsstest du zeigen, dass bspw. ein "abgeschlossenes beschränktes Intervall" [a,b], wie es in Aufg. 1 definiert ist, ein "Intervall" gemäß Aufgabe 2 ist. Dann sollst du noch zeigen, dass es sogar ein "echtes Intervall" ist.

Wenn das geschafft ist, sollst du zeigen, dass jedes "echte Intervall" gemäß Aufg. 2 die Form einer der Mengen, wie sie in (a) bis (i) von Aufg. 1 definiert sind, hat. Für diesen Aufgabenteil ist der Hinweis bestimmt.



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kirill91
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-28


tut mir leid 🤔 leider bin ich immer noch kein bisschen schlauer geworden. bei der aufgabe 1 ist doch nur das a ein echtes intervall weil sup und inf mit in der menge ist, die anderen sind doch teilmengen davon.
ich schaue mir die vorlesung mal nochmal an...🙄



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-28


Hallo,

nicht so schnell aufgeben.

2020-11-28 17:19 - kirill91 in Beitrag No. 2 schreibt:
bei der aufgabe 1 ist doch nur das a ein echtes intervall...

Schaue dir lieber nochmal genau an, was der Begriff echtes Intervall bedeutet, bzw. wie der Begriff Intervall definiert ist.

Also: was genau macht ein Intervall zu einem echten Intervall? Es hat schon mit Supremum und Infimum zu tun, aber so "kompliziert" muss man hier eigentlich gar nicht denken. Zumindest nicht, um die Begrifflichkeiten zu verstehen.

Noch ein Tipp: es hat etwas mit der Größe der Intervalle zu tun...

Dann (wenn du die Begriffe verstanden hast) wirst du sehen, dass alle Intervalle in Aufgabe 1 echte Intervalle sind, wie es ja in Aufgabe 2 auch zu zeigen ist.


Gruß, Diophant



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-11-28


2020-11-28 17:19 - kirill91 in Beitrag No. 2 schreibt:
tut mir leid 🤔 leider bin ich immer noch kein bisschen schlauer geworden. bei der aufgabe 1 ist doch nur das a ein echtes intervall weil sup und inf mit in der menge ist, die anderen sind doch teilmengen davon.
Alle Mengen (a) bis (i) aus Aufg. 1 sind "echte" Intervalle. Echt heißt hier lediglich, dass sie mehr als ein Element enthalten. Und natürlich enthält für a < b auch das offenen Intervall (a,b) mehr als ein Element.

Etwas didaktisch unklug sind in Aufg. 2 vielleicht die Buchstaben a und b gewählt. Sie haben nichts mit a und b aus Aufg. 1 zu tun.

Hier mal exemplarisch für (a), wie man den ersten Teil löst. Ist eigentlich nur Schreibarbeit.

Sei a < b und \(I = [a,b] =\{x\in\IR:a\leq x\leq b\}\).

Behauptung: I ist ein Intervall gemäß Aufg. 2.

Beweis: Seien \(c,d\in I\) mit \(c\leq d\). Zu zeigen ist, dass \([c,d]\subseteq [a,b]\). Sei also \(y\in [c,d]\). (Zu zeigen: \(y\in[a,b]\).) Da  \(c,d\in [a,b]\), gilt \(a\leq c\) und \(d\leq b\). Da \(y\in [c,d]\), gilt \(c\leq y\) und \(y\leq d\). Aus \(a\leq c\) und \(c\leq y\) folgt \(a\leq y\). Aus \(y\leq d\) und \(d\leq b\) folgt \(y\leq b\). Aus \(a\leq y\) und \(y\leq b\) folgt, dass \(y\in[a,b]\). q. e. d.

Behauptung: I ist ein echtes Intervall.

Beweis: Wir benötigen hier zwei Werte \(c,d\in I\) mit \(c\neq d\). Wähle \(c=a\) und \(d=b\). Da \(a<b\), ist \(c\neq d\). Ferner gilt, dass \(c,d\in I\). q. e. d.



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]



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kirill91
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-28


also vielleicht nochmal für blöde, du nimmst also an das dieses Intervalls Aufgabe 1 teil a liegt in einen komplett abgeschlossenen Intervall und das wen ein y aus dem Intervall Aufgabe 1 liegt, liegt auch im einen abgeschlossenen, dan heist dieses Intervall echt? also ich bin sehr verwirrt einfach weil es so abstrakt formuliert ist und ich mir einfach nichts darunter vorstellen kann, ich möchte es gerne verstehen und nicht einfach die punkte sammeln.



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2020-11-28 18:32 - kirill91 in Beitrag No. 5 schreibt:
also vielleicht nochmal für blöde, du nimmst also an das dieses Intervalls Aufgabe 1 teil a liegt in einen komplett abgeschlossenen Intervall und das wen ein y aus dem Intervall Aufgabe 1 liegt, liegt auch im einen abgeschlossenen, dan heist dieses Intervall echt? also ich bin sehr verwirrt einfach weil es so abstrakt formuliert ist und ich mir einfach nichts darunter vorstellen kann, ich möchte es gerne verstehen und nicht einfach die punkte sammeln.
Ich versteh dich leider auch nicht so recht. Kannst du das eventuell sprachlich etwas entwirren?



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kirill91
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ich habe hier den 2 fall zb gezeigt. also I2 ist das jezt.
ist das so richtig??



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Ja, schon ganz gut.

- Schreibe  statt "ein Intervall": ", also ist \(I_2\) ein Intervall"

- Schreibe statt "mit,": "mit \(c\leq d\). Dann gilt"

Jetzt musst du noch zeigen, dass es ein echtes Intervall ist, also dass \(I_2\) mindestens zwei Zahlen enthält.

Die Fälle (c) bis (i) sind dann ziemlich analog. Ich glaube nicht, dass verlangt wird, die alle im Detail auszuführen.

Viel wichtiger ist jedoch, noch die andere Richtung zu zeigen, also das, was ich in #1 mit "Wenn das geschafft ist, sollst du zeigen ..." angedeutet habe.



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