Hi, 

Ich habe paar Fragen zu dieser Aufgabe:

Wir betrachten die Funktionenfolge f_n : \IR -> \IR, x -> max (0, n(1 - n abs(x))). Zeigen Sie, dass f_n fast überall gegen eine integrable Funktion f konvergiert und dass int(f,\lambda_1,\IR) != lim_(n->\inf) int(f_n,\lambda_1,\IR) gilt. Warum lässt sich der Satz über die majorisierte Konvergenz nicht anwenden?


Ich habe mir überlegt, gegen was f_n konvergiert: 
Für x = 0 hätte ich f_n = max (0,n), dann mit n -> \inf hätte ich max (0, \inf) = \inf
Für x != 0: f_n = max (0, n(1-n abs(x))), dann mit n -> \inf: max (0, -\inf) = 0

(Ist das der richtige Ansatz oder muss ich stattdessen (auch) lim_(x->0) anschauen?)

Meine Vorstellung kann falsch sein, aber müsste dann f(x) = cases(max (0, \inf) = \inf ,x=0; max (0, -\inf) = 0, x!=0) sein?


Wie soll gezeigt werden, dass f_n fast überall gegen eine integrable Funktion f konvergiert? Könnte man da die punktweise Konvergenz zeigen? 

Wenn mein Ansatz richtig ist, dann existiert für den Fall x=0 keine Funktion g, mit abs(f_n)<=g, daher kann man nicht den Satz über die majorisierte Konvergenz anwenden, oder?


Ich freue mich auf jede Hilfe.
LG Majazakava

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Hallo Majazakava,
die Grenzfunktion f(x) = cases(\inf ,x=0; 0, x!=0) stimmt und die f_n konvergieren nicht nur fast überall gegen dieses f, sondern überall. lim_(x->0) muss man für punktweise Konvergenz nicht untersuchen.

Um zu zeigen, dass f_n fast überall gegen eine integrable Funktion f konvergiert, muss man zuerst die Konvergenz zeigen, das ist schon geschafft, und dann noch zeigen, dass f integrabel ist.

Für den Satz der majorisierten Konvergenz muss g nicht endlich, sondern integrierbar sein. Beispielsweise für die Funktionenfolge h_n(x)= cases(n ,x=0; 0, x!=0) ist f(x)= cases(\inf ,x=0; 0, x!=0) ebenfalls Grenzfunktion für punktweise Konvergenz und diese Funktion kann man auch gleich als g(x) für den Satz von der majorisierten Konvergenz verwenden. Bei der Folge f_n(x) funktioniert das nicht, weil die f_n(x) auch bei x!=0 recht große Funktionswerte annehmen. Tipp: Überlege, wie groß g(x) auf den Intervallen [ 1/(n+1) , 1/n ) mindestens sein muss und dass ein solches g(x) nicht integrierbar sein kann.

Viele Grüße,
  Stefan

Hallo Stefan,

Um zu zeigen, dass f integrabel ist, hatte ich folgende Idee:
Ich möchte den Satz der monotonen Konvergenz anwenden.
Zu den Voraussetzungen:
- f_n ist eine monoton wachsende Folge messbarer Funktionen: für x=0 wächst die Folge mit jedem n und für x!=0 (fallen zwar die Funktionen selbst) steigt die Folge auch mit jedem n.
Ich habe mir das durch Rechnen und rum Probieren erschlossen. Soll ich da die vollständige Induktion anwenden oder geht das auch weniger aufwendig? (Oder gilt das schon mit lim(n->\inf,von der Folge?)
Ich bin mir auch unsicher, wie ich zeigen soll, dass es sich um messbare Funktionen handelt.
- f_n konvergiert pktw gegen f (schon gezeigt)

Daraus können wir folgern, dass die Grenzfunktion f messbar ist und integrabel.
Ist das so richtig?

LG Majazakava

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Ein Satz über monotone Konvergenz lässt sich hier nicht anwenden. f_(n+1)(x) ist in x=0 größer als f_n(x) und in x=1/(n+1) kleiner. Also die beiden Funktionsgraphen überschneiden sich.

Dass f integrabel ist, lässt sich ohne die f_n feststellen: Ist eine Funktion f(x) integrierbar, die überall 0 ist, außer im Punkt x=0? Was kommt als Integral int(f,\lambda_1,\IR) dieser Funktion heraus? Dann wäre der Teil geschafft, dass f_n punktweise gegen eine integrable Funktion konvergiert.

Der nächste Teil wäre dann, int(f_n,\lambda_1,\IR) ausrechnen, also den Funktionsverlauf einer solchen Funktion f_n hernehmen und versuchen zu integrieren.

Dann den Grenzwert lim_(n->\inf) int(f_n,\lambda_1,\IR) untersuchen und da sollte sich herausstellen, dass dieser Grenzwert verschieden von  int(f,\lambda_1,\IR) ist.

Lieber alles zum Satz von der majorisierten Konvergenz erstmal weglassen, solange die Integrale noch nicht bestimmt sind.

Gilt f integrabel, weil es eine charakteristische Funktion ist?

Es müsste int(f,\lambda_1,\IR) = 0 gelten, wenn ich mich nicht irre.

Ich hab mal die Folge für n=1,2,3 ausgerechnet und es kommt bei mir int(f_n,\lambda_1,\IR) = 1 raus. Also müsste lim(n->\inf,int(f_n,\lambda_1,\IR)) 
= 1 und somit wäre ja die Ungleichheit aus der Aufgabenstellung gezeigt, oder?


Ich hab mir das Intervall von Dir angeschaut und durch rum Probieren und Skizzieren komme ich auf:
g(x) = cases( \inf, abs(x) \el\ intervallgo(0, 1/(n+1)); 1, abs(x) \el\ intervallgo(1/(n+1) , 1/n); 0, sonst )

[Falls ich ''n'' nicht in der Funktion g(x) benutzen darf, kann ich es ja nach oben abschätzen mit n=1]

Es kann sein, dass ich einen Denkfehler habe, aber hier gilt doch abs(f_n) <= g, oder nicht? 

Der einzige Grund, warum g für mich nicht integrabel sein kann, wäre, dass es ein ''unendliches Flächenstück'' enthält und somit ein unendliches Integral hätte.

Es kann aber auch sein, ich Deinen Tipp komplett falsch verstanden habe.

LG Majazakava

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Grenzwert 1 ok.

Die Funktion g(x) hast du so gewählt, dass abs(f_n) <= g ist, also zählt sie als majorisierende Funktion. Wegen dem unendlichen Flächenstück ist sie nicht integrierbar, also kann man mit diesem g(x) den Satz nicht anwenden.

Damit ist aber noch nicht die Möglichkeit ausgeschlossen, daß es ein ''besseres'' g(x) gibt, auch abs(f_n) <= g , aber integrierbar. Um das auszuschließen, war meine Überlegung, die Funktion g(x)=max(n,f_n(x)) zu verwenden, und da bin ich auf die Unterteilung in Teilintervalle [ 1/(n+1) , 1/n ) gekommen, aber dann das kleinstmögliche g(x) verwenden \(also das ''n'' wie du schreibst, bei der Definition von g(x) verwenden) und das auf jedem Teilintevall [ 1/(n+1) , 1/n ) so definieren. Wenn sich dann herausstellt, daß g(x) nicht integrierbar ist, dann kann es auch kein besseres g(x) mehr geben und der Satz von der majorisierten Konvergenz ist für diese Funktionenfolge nicht anwendbar.

Ja, da hast Du Recht, mein g war nur ''irgendeine'' Majorante.

Ich habe die Funktion g nochmal geändert und hoffe, dass sie jetzt besser ist.

g_neu(x) = cases(n, abs(x) \el\ intervallgo(0, 1/(n+1)); n/(n+1), abs(x) \el\ intervallgo(1/(n+1) , 1/n); 0, sonst )

Hier habe ich als ''Wert'' das Maximum gewählt, welches f_n in den angegebenen Intervallen annimmt (in Abhängigkeit von f_n.)

Stimmt das so? Ich wüsste nicht, wie ich g_neu(x) noch ''kleiner'' machen könnte.

Falls es stimmt, kann ich immer noch mit der gleichen Begründung sagen, dass für n -> \inf die Funktion g_neu(x) gegen \inf geht, oder? Damit wäre ja eigentlich gezeigt, dass g nicht integrabel sein kann.

LG Majazakava

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Die Funktion g_neu(x) ist widersprüchlich definiert. x=1/5 liegt im Intervall [ 0, 1/(3+1) [ und deshalb wäre g_neu(x) = 3. x liegt aber auch im Intervall [ 1/(4+1) , 1/4 [ und damit g_neu(x) = 4/5 .

Als ''Wert'' das Maximum wählen, welches f_n in den angegebenen Intervallen annimmt, da bleibt immer noch die Möglichkeit offen, dass es ein ''kleineres'' g_neu(x) gibt, welches integrabel ist.

Als ''Wert'' das Minimum wählen geht nicht, weil das 0 ist. Aber man könnte das Minimum von f_(n-1) auf diesem Intervall verwenden, oder gleich g_neu(x) = f_(n-1) (x) oder g_neu(x) = f_n(x) setzen. Es gibt schon noch Möglichkeiten. Diese Funktionen sind zwar keine Majoranten, aber man hat dann die Gewißheit, dass eine Majorante größer sein muss und auch deren Integral.

g_neu(x) gegen \inf reicht nicht als Beweis, das Integral muss gegen Unendlich gehen, dann gilt das auch für alle denkbaren Majoranten.