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Universität/Hochschule J Stetigkeit einer Funktion zeigen
WagW
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-11-28


Hallo zusammen,

wenn wir Funktionen mehrerer Variablen betrachten, dann sagen wir meistens, dass sie offensichtlich stetig sind, da sie eine Konstruktion stetiger Funktionen sind. Das haben wir bisher nie groß ausgeführt...

Ich frage mich jetzt ob, die folgende Argumentationskette unter Ausnutzung der bekannten Operationen unter stetigen Funktionen lückenlos ist.

Ich wollte die Stetigkeit der Funktion:

$F:(0,\infty)\times(0,\infty)\to\mathbb{R}$, $F(x,y)=y^{x-1}e^y$ zeigen,

ohne auf die $\epsilon$-$\delta$-Definition zurückgreifen zu müssen. Ich nehme im weiteren Verlauf nur an, dass die Stetigkeit elementarer Funktionen bekannt ist.

Also:

1.) Die Projektion $p:(0,\infty)\times (0,\infty)\to\mathbb{R}$, $p(x,y)=x$ ist stetig.

2.) $g:(0,\infty)\to\mathbb{R}$ und $h:(0,\infty)\to\mathbb{R}$ mit $g(x)=(x-1)$ und $h(y)=\ln{y}$ sind stetige Funktionen.

3.) Die Kompositionen $F_1:=(g\circ p):(0,\infty)\times (0,\infty)\to\mathbb{R}$ und $F_2:=(h\circ p):(0,\infty)\times (0,\infty)\to\mathbb{R}$ mit $F_1(x,y)=(x-1)$ und $F_2(x,y)=\ln{y}$ sind ebenfalls stetig.

4.) Ihr Produkt $F_3(x,y):=F_1(x,y)\cdot F_2(x,y):(0,\infty)\times (0,\infty)\to\mathbb{R}$ mit $F_3(x,y)=(x-1)\ln{y}$ ist stetig.

5.) Die Funktion $F_4:(0,\infty)\to\mathbb{R}$ with  $F_4(x)=e^x$ ist stetig. wie auch $(F_4\circ F_3):(0,\infty)\times (0,\infty)\to\mathbb{R}$ where $(F_4\circ F_3)(x,y)=e^{F_3(x,y)}=e^{(x-1)\ln{y}}$.

6.) Die Komposition stetiger Funktionen $F_5:=(F_4\circ p):(0,\infty)\times (0,\infty)\to\mathbb{R}$ mit $F_4(x,y)=e^y$ ist stetig.

7.) Schließlich ist $\left((F_4\circ F_3)\cdot F_5\right)(x,y)=e^{F_3(x,y)}e^y=e^{(x-1)\ln{y}}e^y=y^{x-1}e^y=F(x,y)$ stetig.

O.k. das ist jetzt mega ausführlich, aber wenn ich Kommilitonen frage: wie, wann welche Regel angewendet wurde, habe ich bisher noch nie eine konkrete Antwort bekommen. Es hieß nur "Ach das ist doch offensichtlich..."

Sind die Schritte denn von mir so korrekt? Müsste man da noch mehr zeigen?

Viele Grüße
WagW



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-28


Das ist i. W. richtig. Ein paar Kleinigkeiten sind nicht richtig.

Bei der Definition von $F$ fehlt die Zielmenge (vermutlich $\IR$). Bei 1) brauchst du beide Projektionen. Bei 3) meinst du dann $F_1 = g \circ p_1$ und $F_2 = h \circ p_2$. Bei 6) meinst du $F_5 = F_4 \circ p_2$. Bei 6) meinst du $F_4(y)=e^y$, nicht $F_4(x,y)=e^y$ (wie bei 5 halt).

Übrigens ist die Funktion auch auf $\IR \times \IR^*$ definiert und dort stetig.



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-11-28


Ich würde das so aufdröseln:

0. Grundlagen über Produkte: Die Projektionen $p_1 : X \times Y \to X$, $p_2 : X \times Y \to Y$ sind für beliebige Räume $X,Y$ stetig. Für zwei stetige Funktionen $f : T \to X$, $g : T \to Y$ ist auch $(f,g) : T \to X \times Y$ stetig. Für stetige Funktionen $f : X \to Y$, $g : X' \to Y'$ ist auch $f \times g : X \times X' \to Y \times Y'$ stetig, denn $f \times g = (f \circ p_1,g \circ p_2)$.

1. Die Addition $s : \IR \times \IR \to \IR$ und die Multiplikation $ m : \IR \times \IR \to \IR$ sind stetig. Insbesondere ist für jedes $c \in \IR$ auch $s(\ast,c) : \IR \to \IR$, $x \mapsto x+c$ stetig.
 
2. Für zwei stetige Funktionen $f : X \to \IR$, $g : X \to \IR$ ist daher auch das punktweise Produkt $f \cdot g : X \to \IR$ stetig, denn dies ist die Komposition

$X \xrightarrow{(f,g)} \IR \times \IR \xrightarrow{m} \IR.$

3. Die Funktion $\IR \times \IR^* \to \IR$, $(x,y) \mapsto y^x$ ist stetig. Denn $y^x = \exp(x \cdot \ln(y))$, sodass sie sich als Komposition

$\IR \times \IR^* \xrightarrow{\mathrm{id} \times \ln} \IR \times \IR \xrightarrow{m} \IR \xrightarrow{\exp} \IR$

schreibt. Indem wir die Funktion mit der stetigen Funktion

$\IR \times \IR^* \xrightarrow{s(\ast,{-}1) \times \mathrm{id}} \IR  \times \IR^*$

verketten, sehen wir, dass auch $\IR \times \IR^* \to \IR$, $(x,y) \mapsto y^{x-1}$ stetig ist.

4. Schließlich ist $\IR \times \IR^* \to \IR$, $(x,y) \mapsto y^{x-1} e^y$ stetig, weil es das punktweise Produkt der Funktion aus 3) und von

$\IR \times \IR \xrightarrow{p_2} \IR \xrightarrow{\exp} \IR$

ist.

Übrigens: Dieselben Argumente gehen durch mit "differenzierbar" sowie "unendlich oft differenzierbar" anstelle von "stetig".



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WagW
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Hallo triceratops,

vielen Dank, dass Du das nochmal so ausführlich durchgegangen bist :)

viele Grüße
WagW



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