haegar90
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Themenstart: 2020-11-29
$$ p \in \mathbb{P}:=\lbrace 2,3,5,7,11,13,\dots\rbrace,\;\;p_0=2$$
$$ \Phi=\frac{(1 + \sqrt{5})}{2}\approx 1,618033989$$
Hallo, wie kann man zeigen dass
$$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{p_{k}\cdot\Phi}= \frac{1}{6}$$
stimmt / nicht stimmt ?
Ist mir beim Rumspielen mit Primzahlen aufgefallen, dass sich der Grenzwert in Richtung 1/6 bewegt.
haegar90
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-29
hallo dietmar0609,
ja, den Goldenen Schnitt kenne ich und meine Vermutung hatte einen Tippfehler (+ statt *) habe es in #0 korrigiert.
Ja, mit einem PC.
Python
from sympy import primerange
phi =(1 + 5 ** (1 / 2)) / 2print(phi)
P =sorted(list(primerange(0,1000000)))
p =0for k inrange(0,len(P)):
p +=(-1) ** k / (P[k] * phi)print(p)#1.618033988749895#0.16662557935167832
sonnenschein96
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Beitrag No.4, eingetragen 2020-11-29
Hallo haegar90,
ohne tief im Thema zu stecken würde ich mal die Vermutung wagen, dass dies leider nicht stimmt.
Es gilt \(\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{p_k}=0.26960635197167...\), siehe oeis.org/A078437
Andererseits ist \(\frac{1+\sqrt{5}}{2\cdot6}=0.26967233145831...\) (WolframAlpha)
Ich denke mal, dass beide Zahlen sich tatsächlich nur in den ersten vier Nachkommastellen gleichen, da die Genauigkeit bei OEIS bzw. WolframAlpha recht hoch sein sollte.
haegar90
Aktiv Dabei seit: 18.03.2019 Mitteilungen: 539
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Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-29
Ja, das wäre anders auch nicht zu erwarten gewesen 😒😃.
Ich habe ausgehend von der Leibniz-Reihe etwas herumgetüftelt und bin so
darauf gekommen.
Allerdings habe ich es nicht vermocht mir die Aussichtslosigkeit der Vermutung so einfach klar zu machen wie es in #4 gezeigt wird.
Vielen Dank Euch Beiden und einen guten Start in die Woche.
haegar90
Aktiv Dabei seit: 18.03.2019 Mitteilungen: 539
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Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-10
Bin jetzt beim Herumprobieren hierauf gekommen.
Es scheint als könnte es passen.
$$\sum_{n=0}^\infty \frac{(-e)^n}{(\pi^2)^n}=\frac{\pi^2}{\pi^2+e}\approx0,784055736$$
Würde gerne mal bei OEIS nachsehen, da ja sicher auch dieser Grenzwert bereits bekannt sein wird.
Nur wie läßt sich das in OEIS finden, wie muss dafür die Sucheingabe aussehen ? Sorry, stehe da gerade auf dem Schlauch.
Es gilt \(\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{p_k}=0.26960635197167...\), siehe oeis.org/A078437
...
Mit welcher Eingabe aus den zitierten Infos käme man denn bei OEIS
auf A078437 ohne einen Teil der Reihe selbst einzutippen ?
EDIT: ok, für A078437 ohne "0" 2,6,9,6,0,... geht.
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Themenstart: 2020-11-29
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