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  Form und Aufbau einen Lemmas |
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holsteiner
Senior 
Dabei seit: 25.01.2012
Mitteilungen: 645
Wohnort: Deutschland
 |  Themenstart: 2020-11-29
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Moin,
nach längerer Zeit wollte ich mich wieder ein wenig mit Mathematik beschäftigen. Ich habe gemerkt, das Aufschreiben fällt mir nicht mehr ganz so leicht wie früher und ich bin unsicherer. Daher habe ich versucht, ein einfaches Lemma korrekt mit Latex hinzuschreiben und habe mich nach einigem Zögern entschlossen, es zu posten. Ist es korrekt aufgeschrieben? Ist es stilistisch in Ordnung? Ist das Englisch wenigstens einigermaßen ok? Und: Gibt es vielleicht einen abstrakteren algebraischen Beweis?
Vielen Dank im voraus.
holsteiner
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Lemma:
\begin{lem}
Let $j,n,r \in \mathbb{N},cs\in \mathhbb{R}; r=1 \cdots 2n$
\begin{equation}
cs := \sum_{j=1}^{n} \cos \frac{\pi r j } {n+1};
\end{equation}
then
\begin{equation}
cs= \left \{
\begin{array}{r@{\quad:\quad}l}
n & r=0 \\ 0 & r \:\mbox{odd} \\ -1 & r \:\mbox{even}
\end{array} \right.
\end{equation} ´
\end{lem}
Proof:
\begin{proof}
For $r=0$ we get
\begin{equation}
n= \sum_1^n 1
\end{equation}
\noindent
From cyclomatic polynominals we know for $n \in \mathbb{N}$, $x\in \mathbb{C}$
\begin{equation}
x^{n+1} -1 = (x-1)\sum_{j=0}^{n} x^j
\end{equation}
\noindent
If we now choose $ r=2 \tilde r$ ( r even) and $x = e ^{\frac {2 \pi i \tilde r } {n+1}}$ we get
\begin{equation}
0= e ^ {2 \pi i \tilde r } -1 = (e ^{\frac {2 \pi i \tilde r } { n+1}}-1)\sum_{j=0}^{n} e ^{\frac {2 \pi i \tilde r j } { n+1}}
\end{equation}
and because $e ^{\frac {2 \pi i \tilde r } { n+1}}\ne 1$
\begin{equation}
0=\sum_{j=0}^{n} e ^{\frac {2 \pi i \tilde r j } { n+1}}=\sum_{j=0}^{n} \left( \cos{\frac {2 \pi i \tilde r j } { n+1}}+i\sin{\frac {2 \pi i \tilde r j } { n+1}} \right)
\end{equation}
Imaginary and real part have to be zero, therefore we split both parts and get
\begin{equation}
0=\sum_{j=0}^{n} \cos{\frac {2 \pi i \tilde r j } { n+1}} = 1+ \sum_{j=1}^{n} \cos{\frac { \pi i r j } { n+1}}
\end{equation}
This proves the result for r even.
\noindent
If we choose $ r=2 \tilde r + 1$ ( r odd) and $x = e ^{\frac {\pi i(2 \tilde r +1) } { n+1}}$ and use $j=n+1-\tilde j$ we get
\begin{equation}
\sum_{j=1}^{n} e ^{\frac { \pi i (2 \tilde r +1)j } { n+1}}=\sum_{\tilde j=1}^n e ^{\frac { \pi i (2 \tilde r +1)(n+1-j) } { n+1}}=\sum_{\tilde j=1}^{n} e ^{ \pi i (2 \tilde r +1)} e ^{\frac { - \pi i (2 \tilde r +1) \tilde j}{ n+1}}=\sum_{\tilde j=1}^{n} -e ^{\frac { - \pi i (2 \tilde r +1) \tilde j}{n+1}}
\end{equation}
and
\begin{equation}
\mbox{Re}\left(\sum_{j=1}^{n} e ^{\frac { \pi i (2 \tilde r +1) j}{n+1}}\right)=-\mbox{Re}\left(\sum_{\tilde j=1}^{n} e ^{\frac { - \pi i (2 \tilde r +1) \tilde j}{n+1}}\right)
\end{equation}
The real part is 0 because of the symmetry of the complex conjugate
\begin{equation}
0=\sum_{j=1}^n \cos{\frac {\pi i (2 \tilde r +1)j } {n+1}} =\sum_{j=1}^n \cos{\frac {\pi i r j } {n+1}}
\end{equation}
So this proves the result for $r$ odd.
\end{proof}
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Triceratops
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 |  Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-29
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Ich habe es mir inhaltlich nicht vollständig angesehen (die Idee stimmt auf jeden Fall), nur zur Form und zum LaTeX:
• $\IR$, nicht $R$
• "Lemma: ..." Es gibt Theorem-Umgebungen in LaTeX. Aber du musstest es ja hier reinkopieren, wo sowas ohnehin nicht geht. Jedenfalls sollte das Lemma irgendwie besser zu sehen sein als normaler Text, etwa Lemma 1. Dies und das
• "Let ... $cs \in \IR$" klingt so, als ob $cs$ eine vorgegebene Variable ist. Aber eigentlich sind nur vorgegebene $n,r$ Variablen. Das $cs$ wird darauf aufbauend definiert. Das $j$ ist ein Laufindex, er muss/kann also nicht erklärt wird. Das Lemma muss also starten mit: Let $r,n \in \IN$ with $1 \leq r \leq 2n$.
• "$r=1 \cdots 2n$" Du meinst vermutlich $r=1,\dotsc,2n$ (oder man schreibt es wie oben)
• Wenn man alle Variablen (außer $n$) zur Verfügung hat, finde ich etwas seltsam, eine natürliche Zahl mit $r$ zu bezeichnen. Wie wäre es mit $k$? Bei $r$ denke ich sofort an eine reelle Zahl.
• $cs$ sieht für mich wie das Produkt aus $c$ und $s$ aus, wobei man sich dann fragt, was $c$ und $s$ sind. Eine andere Bezeichnung wäre besser.
• Das Semikolon bei (1) ist unüblich. Besser wäre ein Punkt. Danach dann groß weiter ("Then").
• Das Komma unter (2) ist falsch. Eigentlich muss (2) mit einen Punkt enden (in derselben Zeile). Auch (6),(7),(9),(10) müssen streng genommen mit einen Punkt enden.
• Für die Fallunterscheidung bei (2) nutze \begin{cases} ... \end{cases} (Doku)
• Die Doppelpunkte bei der Fallunterscheidung sind ungewöhnlich. Man benutzt (wenn überhaupt) dabei Kommata.
• Proof. ist üblicher als Proof:
• "For $r=0$ we get ..." würde ich klarer formulieren: "For $ r=0$ the claim is ..., which is of course true. Therefore we will assume $r > 0$."
• In (3) fehlt der Laufindex.
• (4) ist trivial und hat nichts mit zyklotomischen Polynomen zu tun.
• Was man sich beim Lesen von (4) sofort denkt: Ist das $n$ hier dasselbe $n$, das vorher fixiert wird? Wenn ja, wieso steht vorher "for $n \in \IN$"? Wenn nein, gibt es einen Namenskonflikt.
• "choose" müsste "assume" heißen. Das $r$ gibt es schon, da wählt man also nichts aus.
• "r even" (2x) muss "$r$ even" heißen, also Variablen gehören immer in Formeln. (Analog weiter unten)
• $\tilde{r}$ wird nicht erklärt, fällt etwas aus dem Himmel.
• Also ich würde es so formulieren: "Assuming that $r$ is even, say $r = 2 \tilde{r}$ for some $\tilde{r} \in \IN$", we get ... " (oder man sogar noch explizit $\tilde{r} \neq n$, weil man das ohnehin gleich braucht)
• Entsprechend dann weiter unten: "Assume that $r$ is odd, say $r = 2\tilde{r}+1$ for some $\tilde{r} \in \IN$, we get ..."
• "therefore we split both parts" kann man weglassen, bzw. geeignet umformuliert mit dem Nebensatz davor vertauschen. Entscheidend ist hier ja vor allem auch nur, dass der Realteil $0$ ist.
• Ich würde die Hilfsvariablen nicht mit Tilde bezeichnen. Das sieht vor allem bei $\tilde{j}$ schlecht aus. Wie wäre es mit $r = 2s$ und $j = n+1-m$ zum Beispiel? Es gibt jedenfalls noch genug andere Variablen, die hier noch nicht vergeben sind.
• Die großen Klammern bei (9) kann man einfach weglassen.
• Die Exponenten sind schwer zu lesen. Nutze vielleicht besser $\exp(\cdots)$ statt $e^{\cdots}$.
• "The real part is 0" müsste "The real part is $0$" sein, also auch Zahlen sind immer in Formeln.
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holsteiner
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Dabei seit: 25.01.2012
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|  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-30
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Hallo Martin,
vielen Dank für die ausführliche Hilfe! Genau diese Kleinigkeiten machen mir Probleme. Das Ganze ist eine selbst ausgedachte Übung und keine Aufgabe oder Hausaufgabe aus der Uni oder einem Forum.
Allerdings sind tatsächlich einige Ungenauigkeiten darauf zurückzuführen, dass die Umgebung von Latex auf dem MP eine andere als in TexStudio ist. Insbesondere ist die Theorem-Umgebung nicht da und das falsche $\mathbb{R}$ ist auf eine zu wuselige Umänderung von (\mathhbb statt \mathbb) zurückzuführen.
Das alles korrigiere ich im Original, die Korrektur bekomme ich allein hin. Aber ich sehe, ich muss noch viel an meinem Stil verbessern!
Viele Grüße
Peter
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holsteiner hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
holsteiner hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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