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Analysis » Maßtheorie » Erzeugte Sigma-Algebra anhand eines Beispiels
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Universität/Hochschule Erzeugte Sigma-Algebra anhand eines Beispiels
Gast123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-11-30


Hallo,

ich wollte mir ein eigenes Beispiel anschauen um zu sehen wie die von einer Menge erzeugten Sigma Algebra aussieht.

Dafür sei $X$ eine Menge und $A,B \subset X$. Wir betrachten $M:=\{A,B\}$ und wollen dann die von $M$ erzeugte Sigma Algebra hinschreiben.

1.) Zu aller erst mal die Frage: Ist die Menge $\{A,B\}$ eigentlich das selbe wie die Menge $A\cup B$ ?

2.) Nun zur von $M$ erzeugten Sigma-Algebra:
Also die folgenden Mengen sollte ja schonmal auf jeden Fall enthalten sein:
$\emptyset$, $M$, $M^{c}$, $X$. Sind das dann schon alle Elemente der von $M$ erzeugten Sigma Algebra?

Oder ist es doch viel komplizierter und anstatt $M$ müssen, jeweils $A$ und $B$ einzeln enthalten sein und auch deren Komplemente?
Dann müsste ja auf jeden Fall enthalten sein:
$\emptyset$, $A$, $A^{c}$, $B$, $B^{c}$, $A\cup B$, $(A \cup B)^{c} $, $X$.
Aber dann müssten ja auch alle abzählbaren Vereinigungen enthalten sein, wie z.B $A^{c} \cup B$ und wieder alle deren Komplemente und dann auch wieder alle Vereinigungen etc. Hat die Sigma Algebra dann etwa unendlich viele Elemente?

3.) Falls ich die von der gesamten Menge $X$ erzeugte Sigma Algebra suche, ist das einfach nur {$\emptyset$, $X$}?



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-30


Hallo,


1.) Zu aller erst mal die Frage: Ist die Menge $\{A,B\}$ eigentlich das selbe wie die Menge $A\cup B$ ?

Nein. Das sind zwei recht unterschiedliche Objekte. $\{A,B\}$ ist eine Menge, die zwei Elemente hat. Nämlich $A$ und $B$. Diese Elemente sind selbst wieder Mengen. Also $\{A,B\}$ ist eine Menge von zwei Mengen.

$A\cup B$ (wie ist das definiert?) ist die Vereinigung von zwei Mengen. Wie $A$ und $B$ 'aussehen' ist nicht bekannt, es sollen einfach Teilmengen von $X$ sein.
Die Elemente von $A\cup B$ sind Elemente von $X$.


2.) Nun zur von $M$ erzeugten Sigma-Algebra:
Also die folgenden Mengen sollte ja schonmal auf jeden Fall enthalten sein:
$\emptyset$, $M$, $M^{c}$, $X$. Sind das dann schon alle Elemente der von $M$ erzeugten Sigma Algebra?

Was ist denn $M$?


Oder ist es doch viel komplizierter und anstatt $M$ müssen, jeweils $A$ und $B$ einzeln enthalten sein und auch deren Komplemente?
Dann müsste ja auf jeden Fall enthalten sein:
$\emptyset$, $A$, $A^{c}$, $B$, $B^{c}$, $A\cup B$, $(A \cup B)^{c} $, $X$.
Aber dann müssten ja auch alle abzählbaren Vereinigungen enthalten sein, wie z.B $A^{c} \cup B$ und wieder alle deren Komplemente und dann auch wieder alle Vereinigungen etc. Hat die Sigma Algebra dann etwa unendlich viele Elemente?

Es ist wohl nicht möglich hier die erzeugte $\sigma$-Algebra direkt hinzuschreiben. Dazu weißt du zu wenig über die beteiligten Mengen.

Du könntest mal ein expliziteres Beispiel machen.

Ansonsten sollte das Prinzip ja klar sein, und du gehst auch in die richtige Richtung.

Will man die erzeugte $\sigma$-Algebra von $\{A,B\}$ haben (also aus der Menge eine $\sigma$-Algebra machen), dann müssen wir dafür sorgen, dass alle Bedingungen erfüllt sind.
Du könntest das dann sogesehen iterativ machen.

Eine $\sigma$-Algebra muss auf jeden Fall die leere Menge und den gesamten Raum enthalten.

Also müssen wir die Menge $\{A,B\}$ zu $\{\emptyset, A, B, X\}$ auffüllen. Jetzt müssen aber auch jeweils Komplemente enthalten sein.
Hier ist jetzt schon das Problem mit der Information. Ist nämlich etwa $A=B^c$ so sind wir bereits fertig. Aber wir wissen ja nicht was $A$ und $B$ ist.

Also müssten wir jetzt $\{\emptyset, A, A^c, B, B^c, X\}$ betrachten.
Jetzt sollen wir $\sigma$-Algebren noch die ganzen endlichen Vereinigungen enthalten sein.

Also $\{\emptyset, A\cup B, A\cup B^c, A, B, A^c, B^c, A^c\cup B^c, X\}$ (wenn ich jetzt nichts vergessen habe.

Aber wir sind dann (in der Regel) immer noch nicht fertig. Jetzt haben wir nur noch mehr Mengen von denen wir Komplemente und Vereinigungen bilden können.

Die Menge wird dann also immer unüberschaubarer.
Wenn du ein konkretes Beispiel angibst, dann kannst du die $\sigma$-Algebra auch konkret hinschreiben. Zumindest wenn du als Grundmenge eine endliche Menge nimmst, denn dann ist die $\sigma$-Algebra ja (im schlimmsten Fall) die Potenzmenge (das gilt ja allgemein), die für endliche Mengen aber nur endlich viele Elemente enthält (wie viele wären das?).


3.) Falls ich die von der gesamten Menge $X$ erzeugte Sigma Algebra suche, ist das einfach nur {$\emptyset$, $X$}?


Ja, die von $\{X\}$ erzeugte $\sigma$-Algebra wäre $\{X,\emptyset\}$.



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Gast123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-30


Hallo PrinzessinEinhorn,

vielen Dank für deine Antwort. Ich habe noch ein paar weitere Fragen zu deiner Antwort


Nein. Das sind zwei recht unterschiedliche Objekte. $\{A,B\}$ ist eine Menge, die zwei Elemente hat. Nämlich $A$ und $B$. Diese Elemente sind selbst wieder Mengen. Also $\{A,B\}$ ist eine Menge von zwei Mengen.

$A\cup B$ (wie ist das definiert?) ist die Vereinigung von zwei Mengen. Wie $A$ und $B$ 'aussehen' ist nicht bekannt, es sollen einfach Teilmengen von $X$ sein.
Die Elemente von $A\cup B$ sind Elemente von $X$.

Sagen wir mal, $A=\{1,2\}$ und $B=\{2,3\}$, also die Elemente der Mengen sind natürliche Zahlen. Ist dann $\{A,B\}=\{\{1,2\}, \{2,3\}\}$ und $A\cup B = \{1,2,3\}$. Ist das so korrekt?




Was ist denn $M$?

$M$ sollte so definiert sein wie ganz oben, also $M=\{A,B\}$. Und dann ist die Frage, ob die von $M$ erzeugte Sigma Algebra dann einfach nur die Menge $\{\emptyset, \{A,B\}, \{A,B\}^{c}, X\}$ ist oder das was wir dann weiter unten besprochen haben, also wo man dann die Sigma Algebra eigentlich nicht mehr angeben kann weil man immer neue Vereinigungen und deren Komplemente hinzufügen muss (Also sprich so was wie $\{\emptyset, A\cup B, A\cup B^c, A, B, A^c, B^c, A^c\cup B^c, ....,X\}$)?
Also sprich, ich weiß nicht ob man $M$ einfach "als ganzes" also als $\{A,B\}$ verwendet in der Sigma Algebra, oder ob man die einzelnen Elemente aus $M$, also $A$ und $B$, auch nochmal einzeln in der Sigma Algebra haben muss (und dann deren Komplemente, beliebige Vereinigungen etc).



Und dann lass uns mal ein ganz konkretes Bsp machen. Sei $X = \{1,2,3,4\}$ und $A=\{1,2\}$ und $B=\{3\}$ und $M=\{A,B\}=\{\{1,2\},\{3\}\}$. Wenn man jetzt die erzeugte Sigma Algebra sucht, wie würde die aussehen?

Viele Grüße



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-30


Hallo,

so kompliziert ist das wohl gar nicht.

2020-11-30 11:19 - PrinzessinEinhorn in Beitrag No. 1 schreibt:
Also $\{\emptyset, A\cup B, A\cup B^c, A, B, A^c, B^c, A^c\cup B^c, X\}$ (wenn ich jetzt nichts vergessen habe.

Aber wir sind dann (in der Regel) immer noch nicht fertig. Jetzt haben wir nur noch mehr Mengen von denen wir Komplemente und Vereinigungen bilden können.

In der Aufzählung fehlt noch \(A^c\cup B\). Aber so viel mehr Mengen kommen nicht mehr hinzu. Wenn ich es richtig sehen, kommen noch \(A\cap B,A^c\cap B,A\cap B^c,A^c\cap B^c\) hinzu, und das war's dann auch schon.



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-11-30



Sagen wir mal, $A=\{1,2\}$ und $B=\{2,3\}$, also die Elemente der Mengen sind natürliche Zahlen. Ist dann $\{A,B\}=\{\{1,2\}, \{2,3\}\}$ und $A\cup B = \{1,2,3\}$. Ist das so korrekt?

Ja, wäre korrekt.




$M$ sollte so definiert sein wie ganz oben, also $M=\{A,B\}$. Und dann ist die Frage, ob die von $M$ erzeugte Sigma Algebra dann einfach nur die Menge $\{\emptyset, \{A,B\}, \{A,B\}^{c}, X\}$ ist oder das was wir dann weiter unten besprochen haben

Du musst mit der Notation aufpassen. Wenn du die von $M=\{A,B\}$ erzeugte Sigma-Algebra betrachtest, dann ist $M$ hier als Mengensystem zu verstehen. Sowas wie $\{A,B\}$ oder $\{A,B\}^c$ macht dann wenig Sinn, weil du ja $A,B\subseteq X$ hast, und die Mengen $\{A,B\}$ oder das Komplement davon in keinem Zusammenhang damit steht.
Aber ansonsten hat die Frage StrgAltEntf beantwortet.


Und dann lass uns mal ein ganz konkretes Bsp machen. Sei $X = \{1,2,3,4\}$ und $A=\{1,2\}$ und $B=\{3\}$ und $M=\{A,B\}=\{\{1,2\},\{3\}\}$. Wenn man jetzt die erzeugte Sigma Algebra sucht, wie würde die aussehen?

Nun, die erzeugte $\sigma$-Algebra muss jedenfalls

$\{\emptyset, \{1,2,3,4\}, \{1,2\}, \{3\}\}$ enthaltne.

Jetzt fehlen unter anderem Komplemente, also nehmen wir die dazu:

$\{\emptyset, \{1,2,3,4\}, \{1,2\}, \{3,4\}, \{3\}, \{1,2,4\}\}$

(Mache dir klar, welche Menge hier Komplement von welcher Menge ist)

Wie sieht es mit Vereinigungen aus.

Zum Beispiel muss auch $\{1,2\}\cup\{3\}=\{1,2,3\}$ ein Element sein.
Dann muss auch das Komplement drin sein, also $\{4\}$.

Sehe ich es jetzt richtig, sind wir dann fertig.

Also $\{\emptyset, \{3\}, \{4\}, \{1,2\}, \{3,4\}, \{1,2,3\}, \{1,2,4\}, \{1,2,3,4\}\}$

Hier könntest du jetzt nochmal nachprüfen, ob dies eine $\sigma$-Algebra ist. Also alle Axiome durchgehen.

Wenn es eine ist, dann wäre es auf jeden Fall eine $\sigma$-Algebra, die dein Mengensystem enthält.
Dann wäre die von $\{1,2\},\{3\}$ eine Teilmenge (wobei Gleichheit hier natürlich eingeschlossen ist, das ist ja üblich) von dieser $\sigma$-Algebra, denn die Erzeugte $\sigma$-Algebra ist ja die kleinste(!) die das Mengensystem enthält. Hast du also eine Sigma-Algebra gefunden, die dein Mengensystem enthält, so ist die gesuchte Sigma-Algebra jedenfalls kleiner, oder gleich diesem Mengensystem.



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Gast123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-30


Hallo StrgAltEntf,

danke für die Antwort!

In der Aufzählung fehlt noch \(A^c\cup B\). Aber so viel mehr Mengen kommen nicht mehr hinzu. Wenn ich es richtig sehen, kommen noch \(A\cap B,A^c\cap B,A\cap B^c,A^c\cap B^c\) hinzu, und das war's dann auch schon.

Aber muss man dann nicht auch noch weitere Vereinigungen mit diesen Mengen bilden, also z.B. $(A\cup B^{c}) \cup (A^{c} \cap B)$ und eben von allen möglichen solcher Permutation die Vereinigungen bilden. Und dann davon wieder die Komplemente, und dann wieder neue Vereinigungen bilden damit etc.?



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Gast123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-30


Hallo PrinzessinEinhorn,

nochmal danke für die Antwort.



Du musst mit der Notation aufpassen. Wenn du die von $M=\{A,B\}$ erzeugte Sigma-Algebra betrachtest, dann ist $M$ hier als Mengensystem zu verstehen. Sowas wie $\{A,B\}$ oder $\{A,B\}^c$ macht dann wenig Sinn, weil du ja $A,B\subseteq X$ hast, und die Mengen $\{A,B\}$ oder das Komplement davon in keinem Zusammenhang damit steht.
Aber ansonsten hat die Frage StrgAltEntf beantwortet.

Also mich verwirrt halt die Definition, dass das von $M=\{A,B\}$ erzeugte Dynkin System $D$ das kleinste Dynkin System ist, das $M$ enthält. Denn für mich bedeutet "enthalten" hier, dass $M$ ein Element von $D$ ist, also sprich, dass $D$ irgendwie so aussieht: $D =\{\emptyset, \{A,B\}, \{A,B\}^{c}, ...\}$. Aber anscheinend bedeutet "enthalten", dass $M$ eine Teilmenge von "D" ist, richtig? (Also spricht dass die Elemente von $M$ auch Elemente von $D$ sind).




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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-11-30


2020-11-30 16:45 - Gast123 in Beitrag No. 5 schreibt:
Aber muss man dann nicht auch noch weitere Vereinigungen mit diesen Mengen bilden, also z.B. $(A\cup B^{c}) \cup (A^{c} \cap B)$ und eben von allen möglichen solcher Permutation die Vereinigungen bilden. Und dann davon wieder die Komplemente, und dann wieder neue Vereinigungen bilden damit etc.?
Es ist bspw. $(A\cup B^{c}) \cup (A^{c} \cap B)=X$. Du bleibst immer in der Menge, egal, wie du vereinigst oder Komplemente bildest.



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Gast123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-30


Hallo und vielen Dank nochmal für die Antwort.

Ich hätte dann nochmal eine Frage: Wie würde denn das von $M= \{A,B\}$ erzeugte Dynkin System aussehen?

Ich frage mich nämlich wie man das konstruieren sollte? Denn bei einem Dynkin System liegen ja nur Vereinigungen von disjunkten Mengen wieder im Dynkin System. Kann man dann ohne Information, ob $A$ und $B$ disjunkt sind, überhaupt das Dynkin System angeben?

Gehen wir mal davon aus, dass $A$ und $B$ nicht disjunkt sind. Wäre dann das Dynkin System nur $D=\{\emptyset, A, A^{c}, B, B^{c}, X\}$?

Und wie würde es aussehen, wenn $A$ und $B$ disjunkt wären?




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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-11-30


2020-11-30 19:41 - Gast123 in Beitrag No. 8 schreibt:
Gehen wir mal davon aus, dass $A$ und $B$ nicht disjunkt sind. Wäre dann das Dynkin System nur $D=\{\emptyset, A, A^{c}, B, B^{c}, X\}$?
Das kommt wohl drauf an. Es könnte ja sein, dass z. B. \(A^c\) und \(B^c\) disjunkt sind. Dann müsste man noch \(A^c\cup B^c\) hinzunehemn.



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-12-01


"Enthalten sein" ist hier im Sinne der Teilmengenrelation zu verstehen.

Also $A$ ist enthalten in $B$ wenn $A\subseteq B$ gilt.
Nicht etwa wenn $A\in B$ ist.




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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-04


Hallo StrgAltEntf und PrinzessinEinhorn, danke für die Antworten!



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-04



Das kommt wohl drauf an. Es könnte ja sein, dass z. B. \(A^c\) und \(B^c\) disjunkt sind. Dann wüsste man noch \(A^c\cup B^c\) hinzunehemn.

Okay aber die Mengen in einem Dynkin System müssen nicht notwendigerweise disjunkt sein. Sondern für den Fall, dass es disjunkte Mengen im Dynkin System gibt, muss auch deren (disjunkte) Vereinigung im Dynkin System liegen. Ist das so korrekt?



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2020-12-04


2020-12-04 17:33 - Gast123 in Beitrag No. 12 schreibt:

Das kommt wohl drauf an. Es könnte ja sein, dass z. B. \(A^c\) und \(B^c\) disjunkt sind. Dann müsste man noch \(A^c\cup B^c\) hinzunehemn.

Okay aber die Mengen in einem Dynkin System müssen nicht notwendigerweise disjunkt sein. Sondern für den Fall, dass es disjunkte Mengen im Dynkin System gibt, muss auch deren (disjunkte) Vereinigung im Dynkin System liegen. Ist das so korrekt?

So habe ich es auch verstanden. (Ich kannte den Begriff zuvor nicht.) Aber das widerspricht ja nicht dem, was ich in Beitrag #9 geschrieben habe.



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Habe jetzt bemerkt, dass \(A^c\cup B^c=X\), falls \(A\cap B=\emptyset.\)

Fortsetzung gibt es hier: LinkVon zwei Mengen erzeugtes Dynkin-System



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