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| Autor |
 ** Eine penetrante Sekante |
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cramilu
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Eine erquickliche Adventszeit wünsche ich Euch allen!
Wie gewiss auch einige andere martere ich mir aktuell mein Hirn, um den "Moriarty-Grenzwerten" auf die Spur zu kommen, welche Squire uns jüngst zum Knobeln anheim gestellt hat...
Seit vergangenem Freitag "vergnüge" ich mich nun außerdem rund um eine Frage des "Jungplanetariers" Rurien9713:  Konstruktion einer Sekante mit bestimmter Länge
Wer also etwas geometrische Knobelabwechslung braucht...
[Selber kenne ich die Antwort(en) übrigens auch noch nicht!]
\(P_W\) "startet" in \(P_0\). \(A_0\) und \(B_0\) fallen mit ihm zusammen.
\(P_0B_0\) durch \(A_0\) ist "Quasi-Tangente".
So fällt auch der erste "Quasi-Tangentialpunkt" \(T_0\) mit \(P_0\) zusammen.
Nun "wandert" \(P_W\) bis \(P_X\).
"Weiter wandern" darf er nicht, wenn \(\vert PA\vert =\vert AB\vert\) gelten soll!
Die Tangentialpunkte \(T_{W1}\) und \(T_{W2}\) "wandern" dabei
entlang der Kreislinie \(k_M\) von \(P_0=T_0\) weg bis \(T_{X1}\) und \(T_{X2}\).
Die "Austrittspunkte" \(B_{W1}\) und \(B_{W2}\) der Sekante
"wandern" ebenfalls entlang der Kreislinie \(k_M\) von \(P_0=B_0\) weg,
bis sie schließlich für \(P_X\) "gegenüber" von \(P_0=B_0\)
im Punkt \(B_X\) zusammenfallen.
Die "Eintrittspunkte" \(A_{W1}\) und \(A_{W2}\) der Sekante
"wandern" ihrerseits zunächst auch entlang der Kreislinie \(k_M\)
von \(P_0=A_0\) weg, müssen dann jedoch ab bestimmten Positionen
\(A_{U1}\) und \(A_{U2}\) "umkehren", um einander schließlich für \(P_X\)
wieder in \(P_0=A_0\) zu treffen und dort ebenso zusammenzufallen.
Fragestellungen:
1. Für welches \(P_W\) - in Abhängigkeit wahlweise von \(\phi_W\) oder von \(\vert P_WM\vert =w\cdot r\) -
erreichen die Punkte \(A_{W1;2}\) den größten Abstand zu \(A_0\)?
2. Für welches \(P_W\) - in Abhängigkeit wahlweise von \(\phi_W\) oder von \(\vert P_WM\vert =w\cdot r\) -
werden die Flächeninhalte der Dreiecke \(\triangle P_WA_{W1}A_{W2}\) und \(\triangle P_WB_{W1}B_{W2}\) maximal?
Da ich selber wie gesagt noch keine zufriedenstellende Antwort habe finden können (Wahrscheinlich ist ja ein und dasselbe \(\phi_W\) bzw. \(w\cdot r\) Antwort auf beide Fragen!?), soll der Diskurs gerne unmittelbar hier erfolgen...
p.s.
Danke, MontyPythagoras, für den Hinweis zur Grafik
- ich habe sie nunmehr kleiner skaliert ;)
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MontyPythagoras
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 |      Beitrag No.1, eingetragen 2020-12-01
|
Hallo cramilu,
zur ersten Frage: die Punkte $A_w$ erreichen den maximalen Abstand zu $A_0$ oder auch zur vertikalen Symmetrieachse bei $\varphi_w=30°$.
Zur zweiten Frage: die ist ein bisschen schwieriger. Das Dreieck $P_wA_{w1}A_{w2}$ erreicht seine maximale Fläche bei $\varphi_w=\arctan\sqrt{\frac{2\sqrt{13}-5}{27}}$, was einem Winkel von 15,97° entspricht.
Grobe Anleitung:
Man stelle eine Beziehung her zwischen den Winkeln $\alpha=\frac12\sphericalangle A_{w1}MB_{w1}$ und $\varphi_w$. Die ist einfach. Dann kann man die anderen Größen (Sekantenlänge, Dreiecksfläche) in Abhängigkeit von $\varphi_w$ darstellen. Dann einmal ableiten, ein wenig vereinfachen, und quadratische Gleichung für $\tan^2\varphi_w$ lösen.
Eine Bitte noch: könntest Du Deine Grafiken bitte auf ein Viertel der Größe skalieren, ich scrolle mir die Finger wund, wenn ich das ganze Bild überblicken und dazu noch ein wenig Text lesen möchte. Das Bild ist über 2000 Pixel hoch und breit, 500 tun es auch.
Ciao,
Thomas
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cramilu
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-02
|
Ich habe mich auf die Länge der Strecke \(\overline{P_WM}=[P_WM]\) konzentriert...
\(\vert P_WM\vert\: =\: p(w)\: =\: p_w\: =\: w\,\cdot\, r\)
Bei Betrachtung des Einheitskreises gilt also: \(\vert P_WM\vert\: =\: p(w)\: =\: p_w\: =\: w\)
Für weitere Betrachtungen habe ich dann den Sekanten-Tangenten-Satz genutzt...
Berühre die Tangente von \(P_W\) am Kreis \(k_M\) diesen im Punkt \(T_W\).
Dann ist das Dreieck \(\triangle P_WT_WM\) bei \(T_W\) rechtwinklig,
und es gilt: \(\vert P_WT_W\vert^2\: +\:\vert T_WM\vert^2\: =\:\vert P_WM\vert^2\) .
Mit \(\vert P_WT_W\vert =t(w)=t_w\) , \(\vert T_WM\vert =r=1\) und \(\vert P_WM\vert =p(w)=p_w=w\)
folgt daraus: \(t_w\: =\:\sqrt{w^2-1}\) .
Nach dem Sekanten-Tangenten-Satz gilt: \(\vert P_WT_W\vert^2\: =\:\vert P_WA_W\vert\:\cdot\:\vert P_WB_W\vert\) .
Mit \(\vert P_WA_W\vert =a(w)=a_w\) , \(\vert P_WB_W\vert =b(w)=b_w=\vert P_WA_W\vert +\vert A_WB_W\vert\)
und \(\vert P_WA_W\vert =\vert A_WB_W\vert\) (Vorgabe!) folgt daraus: \(t_w^2\: =\: 2\,\cdot\, a_w^2\) .
Somit ist \(a_w\: =\: \frac{t_w}{\sqrt{2}}\: =\:\sqrt{\frac{w^2-1}{2}}\) .
Sei nun \(s_w\) Sehne von \(k_M\) in \(A_W\) mit \(s_W\perp P_WM\) .
\(s_w\) schneidet dann \(P_WM\) senkrecht im Punkt \(F_W\) mit \(\vert A_WF_W\vert =x(w)=x_w=\frac{s_w}{2}\) .
Dann sind die Dreiecke \(\triangle P_WA_WF_W\) und \(\triangle A_WMF_W\) beide bei \(F_W\) rechtwinklig.
Mit \(\vert F_WM\vert =f(w)=f_w\) folgt: \(1\: -\: f_w^2\: =\: x_w^2\: =\: a_w^2\: -\: (p_w-f_w)^2\) .
\(x_w^2\) eliminiert, dann eingesetzt und umgeformt: \(f_w\: =\:\frac{w^2+3}{4\cdot w}\) .
\(x_w^2\: =\:1\: -\: f_w^2\: =\:\frac{10\cdot w^2\, -\, w^4\, -\, 9}{16\cdot w^2}\) \(\Rightarrow\) \(x_w\: =\:\frac{\sqrt{10\cdot w^2\, -\, w^4\, -\, 9}}{4\cdot w}\) .
\(x_w\) weist für die Werte \(1\) und \(3\) zwei leicht erkennbare Nullstellen auf. Diese markieren gleichermaßen die Grenzen für das Intervall des "wandernden" \(P\): \(w\in[1;3]\) .
Im Dreieck \(\triangle P_WA_{W1}A_{W2}\) ist \(s_w\) die Grundseite und \([F_WP_W]=h_w\) die Höhe.
Für seinen Flächeninhalt gilt demnach: \(A_{\triangle}(w)\: =\: \frac{s_w}{2}\:\cdot\:h_w\) .
Mit \(\frac{s_w}{2}=x_w=\frac{\sqrt{10\cdot w^2\, -\, w^4\, -\, 9}}{4\cdot w}\) und \(h_w=p_w-f_w=w-\frac{w^2+3}{4\cdot w}=\frac{3\cdot w^2\, -\,3}{4\cdot w}\) folgt:
\(A_{\triangle}(w)\: =\:\frac{(3\cdot w^2\, -\,3)\:\cdot\:\sqrt{10\cdot w^2\, -\, w^4\, -\, 9}}{16\cdot w^2}\) .
Nun lassen sich beide Fragen beantworten, indem man die jeweiligen Terme für \(x_w\) und \(A_{\triangle}(w)\) nach \(w\) differenziert und dann gleich \(0\) setzt...
Zu Frage 1. (Quotientenregel!):
\(x'_w\: =\: x'(w)\: =\:\frac{5\: -\: w^2}{2\,\cdot\,\sqrt{10\cdot w^2\, -\, w^4\, -\, 9}}\: -\:\frac{\sqrt{10\cdot w^2\, -\, w^4\, -\, 9}}{4\,\cdot\, w^2}\)
\(x'_w\: =\:0\) \(\Rightarrow\) ... \(w\: =\:\sqrt{3}\) \(\Rightarrow\) \(x(\sqrt{3})\: =\: 0,5\) ; \(a(\sqrt{3})\: =\:1\)
[EDIT] \(sin(\phi_w)\: =\:\frac{x_w}{a_w}\: =\:\sqrt{\frac{10\cdot w^2\, -\, w^4\, -\,9}{8\cdot w^4\, -\,8\cdot w^2}}\) \(\Rightarrow\) ... \(\phi(\sqrt{3})\: =\:30°\)
Ergalso... MontyPythagoras, Du hast Recht 😎
[EDIT] Zu Frage 2. ...
Umformung: \(A_{\triangle}(w)\: =\:\frac{(3\cdot w^2\, -\,3)\:\cdot\:\sqrt{10\cdot w^2\, -\, w^4\, -\, 9}}{16\cdot w^2}\: =\:\frac{3}{16}\,\cdot\, (1\, -\,\frac{1}{w^2})\,\cdot\,\sqrt{10\cdot w^2\, -\, w^4\, -\, 9}\) .
Substitution \(v=w^2\) : \(A_{\triangle}(v)\: =\:\frac{3}{16}\,\cdot\, (1\, -\,\frac{1}{v})\,\cdot\,\sqrt{10\cdot v\, -\, v^2\, -\, 9}\) .
Differenzierung nach \(v\) (Produktregel!):
\(A'_{\triangle}(v)\: =\:\frac{3}{16\cdot v}\:\cdot\: \left(\frac{\sqrt{10\cdot v\, -\, v^2\, -\, 9}}{v}\: +\:\frac{6\cdot v\, -\, v^2\, -\, 5}{\sqrt{10\cdot v\, -\, v^2\, -\, 9}}\right) \)
\(A'_{\triangle}(v)\: =\:0\) \(\Rightarrow\) ... [ausmultiplizieren] \(v^3\: -\: 5\cdot v^2\: -\:5\cdot v\: +\:9\: =\:0\)
Lösung \(v=1\) offensichtlich \(\Rightarrow\) Polynomdivision mit \((v-1)\) :
\(v^2\: -\: 4\cdot v\: -\:9\: =\:0\) \(\Rightarrow\) \(v\: =\:2+\sqrt{13}\) \(\Rightarrow\) \(w\: =\:\sqrt{2+\sqrt{13}}\:\approx\:2,3676045437243...\)
\(A_{\triangle}(\sqrt{2+\sqrt{13}})\: =\:\frac{3\,\cdot\, (1+\sqrt{13})\,\cdot\,\sqrt{6}}{16\,\cdot\, (2+\sqrt{13})}\:\cdot\:\sqrt{\sqrt{13}\, -\,1}\:\approx\:0,60910196655...\)
\(x(\sqrt{2+\sqrt{13}})\: =...\approx\:0,417499809062233...\) ; \(a(\sqrt{2+\sqrt{13}})\: =...\approx\:1,51748991355...\)
\(sin(\phi_w)\: =\:\frac{x_w}{a_w}\: =...\approx\:0,27512526135...\) \(\Rightarrow\) ... \(\phi(\sqrt{2+\sqrt{13}})\: =...\approx\:15,969479°\)
... und schon wieder hast Du Recht, MontyPythagoras 😎
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MontyPythagoras
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| Beitrag No.3, eingetragen 2020-12-02
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Hallo cramilu,
noch einmal etwas ausführlicher:
Es ist:
$$\frac a{\tan\alpha}=b=3a\tan\varphi$$Das erste Gleichheitszeichen im rechtwinkligen Dreieck $ACE$, das zweite in $ADE$. Somit
$$\tan\alpha=\frac1{3\tan\varphi}$$Außerdem gilt wegen der Winkelsumme im Dreieck $ADE$:
$$\alpha+\beta+\varphi=\frac\pi2$$$$\beta=\frac\pi2-\alpha-\varphi$$$$\tan\beta=\frac{1-\tan\alpha\tan\varphi}{\tan\alpha+\tan\varphi}=\frac23\;\frac1{\frac1{3\tan\varphi}+\tan\varphi}$$$$\tan\beta=2\frac{\tan\varphi}{3\tan^2\varphi+1}$$Der ABstand von $C$ zur x-Achse wird maximal, wenn $\beta$ maximal wird. Da die Tangensfunktion streng monoton steigend ist auf dem fraglichen Intervall $\left[0;\frac\pi2\right]$, reicht es, die Ableitung von
$$f(x)=\frac x{3x^2+1}$$mit $\tan\varphi=x$ zu berechnen und gleich null zu setzen, mit obigem Ergebnis.
Zur Frage der maximalen Fläche:
Die Dreiecksfläche $DCF$ ist
$$A_{DCF}=\frac12(2a\sin\varphi)(2a\cos\varphi)=2a^2\sin\varphi\cos\varphi=2r^2\sin^2\alpha\tan\varphi\cos^2\varphi$$$$A_{DCF}=2r^2\frac{\tan^2\alpha}{\tan^2\alpha+1}\tan\varphi\frac1{\tan^2\varphi+1}=2r^2\frac1{1+\frac1{\tan^2\alpha}}\tan\varphi\frac1{\tan^2\varphi+1}$$$$A_{DCF}=2r^2\frac{\tan\varphi}{(9\tan^2\varphi+1)(\tan^2\varphi+1)}$$Mit der gleichen Argumentation wie oben, reicht es hier, mit $\tan\varphi=x$ das Maximum der Funktion
$$f(x)=\frac x{(9x^2+1)(x^2+1)}$$zu bestimmen. Das ist eine Fleißaufgabe, aber scheint mir einfacher als Dein Weg zu sein. Oder man lässt es WolframAlpha erledigen, und kommt zu meiner obigen Lösung.
Ciao,
Thomas
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cramilu
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-02
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Danke, Thomas, für Deine gut illustrierten trigonometrischen Ausführungen!
Ich bin entzückt, dass ich es analytisch hinbekommen habe;
siehe meine EDITs im vorvorherigen Beitrag...
"Einfacher" dürfte insgesamt Geschmacksfrage bleiben -
immerhin liegen nun zwei Wege vor, welche die gleichen Resultate zeitigen.
Insgesamt brauche ich jetzt vor allem eine Pause von LATEX 🙄
Dass in der Analytik doch so viel "Pfeffer" drinsteckt,
hatte ich anfangs nicht gedacht...
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