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Funktionenfolgen und -reihen » Konvergenz » Beweis Cauchy-Kriterium glm. Konvergenz
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Universität/Hochschule Beweis Cauchy-Kriterium glm. Konvergenz
Rurien9713
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-12-01


Hallo :)

Ich hätte mal eine Frage zu dem folgenden Beweis zum Cauchy-Kriterium für die glm. Konvergenz.

Eine Folge von Funktionen fn:D --> C, D Teilmenge C konvergiert glm. auf D <=> Es zu jedem Epsilon > 0 ein N aus |N gib, sodass: ||fn-fm||<=Epsilon für alle n,m >=N und für alle x aus D.

Nun muss man ja 2 Richtungen beweisen. In der Hinrichtung wird angenommen, dass (fn) glm gegen f konvergiert.

Muss in der Rückrichtung angenommen werden, dass (fn(x)) eine Cauchy-Folge ist oder fehlt da noch ein Zwischenschritt.

Hier auch noch ein Bild der Rückrichtung des Beweises:


Ich verstehe nicht so ganz warum dies für t gezeigt wird und dann für x. Kann mir das jemand erklären?
Dafür wäre ich sehr dankbar😃



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haerter
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-12-01


Hallo,
das ist vielleicht eine nicht optimale Wahl der Bezeichnungen.
Gemeint ist wohl, dass <math>x</math> ein spezielles Element von <math>M</math> ist und <math>t</math> als Variable für alle Elemente stehen soll.
Andererseits muss man, um die Grenzfunktion <math>f</math> zu konstruieren, ja <math>x</math> auch alle Elemente aus <math>M</math> durchlaufen lassen.

Dass <math>(f_n(x))</math> für festes <math>x</math> eine Cauchy-Folge (in <math>\mathbb{R}</math>) ist, muss eben nicht angenommen werden, sondern das ist genau das, was im ersten Teil aus der Cauchy-Eigenschaft der Folge <math>(f_n)</math> gefolgert wird.

Viele Grüße,
haerter



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Rurien9713
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-01


Hm, also ich habe hier in meinem Satz und dem Beweis den ich gepostet habe nicht auf die entsprechendnen Details geachtet.
D = M; N = n0

Also der erste Teil mit dem t soll die Cauchy-Eigenschaft darstellen und daraus folgern wir dann eben, dass es eine Cauchy-Folge ist oder wie?

Was genau wird dann im 2.Teil angenommen?

Kannst du mir das vielleicht anhand dieses Beweises sagen? Bzw. was wird oben im 2. Teil des Beweises angenommen?



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haerter
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-12-01


Im zweiten Teil wird ein beliebiges <math>\varepsilon>0</math> betrachtet und dann angenommen, dass es ein N gibt, so dass...
Dann wird gefolgert, dass genau dieses N auch funktioniert, um zu sehen, dass die (komplexe Zahlen-)Folge <math>(f_n(x))</math> mit beliebigem festem <math>x</math> eine Cauchyfolge (in <math>\mathbb{C}</math>) ist.

Viele Grüße,
haerter


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Rurien9713
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-01


Danke für die Antwort. Aber so ganz verstanden, habe ich es noch nicht.
Ich dachte, dass aus |fn(x)-fm(x)|<Epsilon direkt folgt, dass es eine Cauchyfolge ist, da diese doch so definiert sind.

Aber wie kommt man eben darauf, dass |fn(x)-fm(x)|<Epsilon gilt?

Wir nehmen doch an, dass Für Alle Epsilon>0 Es gibt ein N aus |N , sodass: ||fn-fm||<=Epsilon Für alle m,n >=N und für alle x aus D.

Bedeutet das nicht direkt, dass dies eine Cauchy-Folge definiert oder wie kommt man von dieser Annahme dazu dass es eine Cauchy-Folge ist?



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Rurien9713
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-01


Hallo,

noch einmal zum 1.Bild.


Ist es denn korrekt, wie gezeigt wird, dass es gleichmäßig konvergent ist?

Warum genau, kann man hier sagen, dass f(x)=lim(fm(x))?

Kann man dies folgern, da sowohl n,m größer als n0 definiert sind und somit der Limes sowohl für n, als auch m gilt?



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haerter
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-12-01


Hallo,

ich bin nicht sicher, ob ich Deine Fragen richtig verstehe.

(2020-12-01 15:35 - Rurien9713 in <a
Warum genau, kann man hier sagen, dass f(x)=lim(fm(x))?

Kurze Antwort: Weil <math>f</math> so definiert ist.
Lange Antwort:
Man muss hier darauf achten, dass man zwei Sorten von Cauchy-Folgen hat: Für reelle oder komplexe Zahlenfolgen, die Cauchy-Folgen sind, weiß man, dass sie konvergieren. Für Funktionenfolgen, die Cauchy-Folgen sind, weiß man noch nichts, sondern will ja gerade erst zeigen, dass diese dann gleichmäßig konvergieren. Die "Cauchy-Folgen mit festem x" sind also automatisch konvergente Folgen mit einer Zahl als Grenzwert und diese Zahl wird benutzt, um den Wert <math>f(x)</math> der "Grenzfunktion" überhaupt erst zu definieren. <math>f(x)=\lim\limits_{m\to\infty}f_m(x)</math> ist also die Definition von <math>f</math>.

(2020-12-01 15:35 - Rurien9713 in <a
Kann man dies folgern, da sowohl n,m größer als n0 definiert sind und somit der Limes sowohl für n, als auch m gilt?

Ja, aber...
Aber, weil hier <math>n</math> festgehalten wird (unter der Voraussetzung <math>n\geq N</math>) und nur <math>m\to\infty</math> geschickt wird. Wenn man <math>m</math> und <math>n</math> gegen <math>\infty</math> gehen lässt, erhält man nur <math>|f_n(x)-f_m(x)|\to 0</math>, was mit der Grenzfunktion nichts zu tun hat.

Viele Grüße,
haerter



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-01


Ahhh ok. Danke dir ich glaube ich verstehe es immer mehr.

Also wir zeigen dies beim 2. Schritt ersteinmal, dass aus der Cauchy-Eigenschaft also dass C-Folgen konvergent sind um danach mit der Definition weiterzuarbeiten und die Konvergenz auf die Funktionenfolge zu beziehen?

Danke dir für deine Hilfe😃



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Rurien9713
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-01


In meinem Beispiel (1.Bild) wurde aber extra nochmal der Punkt t verwendet um es danach für x zu zeigen. Aber ist es da nicht schon klar dass es für x gilt oder muss man auch da erst noch hinkommen?

Ich hätte gedacht, dass aus der Cauchy-Eigenschaft das eben für die Punkte x bzw. die Folgen gilt oder müssen wir genau da zeigen dass es auf die Konvergenz von Funktionenfolgen übertragbar ist?



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haerter
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-12-02


Hallo,

ich sehe dort, wo die Variable <math>t</math> auftaucht, nur <math>f_n(t)-f_m(t)</math>, aber kein <math>f</math>, die Grenzfunktion kommt dann erst durch die "punktweisen Cauchy-Folgen" (mit x) ins Spiel.

Wie schon mal gesagt, verwendet der/die Autor*in <math>t</math> hier, um die Cauchy-Eigenschaft zu beschreiben und t wird für alle Punkte in D verwendet, während x dann immer ein fester Punkt ist. (Trotzdem ist das vielleicht etwas verwirrend, weil x zwar in der Argumentation immer fest ist, aber quasi einzeln dann doch alle Punkte von D durchläuft.)

Viele Grüße,
haerter



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-02


Hm alles klar. Ich denke, dass habe ich nun einigermaßen verstanden.
Aber kann man dies auch auf andere Arten theoretisch zeigen?

Ich hätte hierzu noch eine Frage:



Hier würde ich gerne das umkreiste noch einmal erläutert bekommen.
Können wir uns die Einschränkung, sprich <Epsilon/2, einfach "basteln" und warum geht das?



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-12-02


Das ist sozusagen ein "Standardargument", das mit Cauchyfolgen nichts zu tun hat. Wenn man etwas kleiner als jedes <math>\varepsilon</math> machen kann, dann kann man es auch kleiner als <math>\varepsilon/2</math> oder <math>\varepsilon/3</math> oder <math>\varepsilon^2</math> etc. machen.

Viele Grüße,
haerter


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Das klingt logisch. Vielen Dank dafür.

Ich hätte aber noch eine letzte Frage. Ich habe in einem anderen Beweis gesehen, dass wie folgt funktioniert:
Für alle x aus D gilt: |fn(x)-fm(x)|<=||fn-fm|| also ist (fn(x)) eine Cauchy-Folge.
Ich kann auch gerne den ganzen Abschnitt hier rein posten.
Ist denn diese Aussage/ Folgerung korrekt?



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Hallo,

das ist im Grunde genommen dasselbe, denn die Norm <math>\|f_n-f_m\|</math> sollte hier die Supremumsnorm sein, d.h. <math>\|f_n-f_m\|<\varepsilon</math> bedeutet <math>|f_n(x)-f_m(x)|<\varepsilon</math> für alle <math>x\in D</math>.

das "also ist <math>(f_n)</math> eine Cauchy-Folge" enthält dann sozusagen das, was in Deinem längeren Beweis ausgeführt ist.

Viele Grüße,
haerter


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Danke für die Antwort!
Und das kleiner gleich Zeichen. Das steht da weil es die supremumsnorm ist, also das supremum immer größer oder gleich sein wird?

Folgt dies also im Prinzip aus der DEF. Der sup-Nirm?



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yup



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