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 Untergruppe von Vektorraum auf K=Z/pZ bildet wieder einen K-Vektorraum |
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alex160897
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 |  Themenstart: 2020-12-01
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$K = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$
$p$ Primzahl, also $K$ Körper
$V$ $K$-Vektorraum
$(W, +)$ Untergruppe von $(V, +)$
Zu zeigen: $W$ ist $K$-Vektorraum
Ich dachte, wenn ich zeigen kann, dass $W$ ein Untervektorraum von $V$ ist, ist auch gleich gezeigt, dass $W$ ein $K$-Vektorraum ist.
I) $W \neq \emptyset$ (da $0 \in W$)
II) $w_1 + w_2 \in W$ (da $(W, +)$ Gruppe ist)
III) $k \cdot w \in W$
Bei III komm ich nicht weiter. :(
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Triceratops
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 |  Beitrag No.1, eingetragen 2020-12-01
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Jedes Element von $\IZ/p\IZ$ ist eine Summe von Einsen.
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alex160897
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|  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-01
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Vielen Dank für die Antwort :)
\quoteon(2020-12-01 16:46 - Triceratops in Beitrag No. 1)
Jedes Element von $\IZ/p\IZ$ ist eine Summe von Einsen.
\quoteoff
$$k \in K, w \in W, k \cdot w = (1 + 1 + ... + 1) \cdot w = 1 \cdot w + 1 \cdot w + ... 1 \cdot w = w + w + ... + w \in W$$ da $W$ unter $+$ abgeschlossen.
Meinst du so? Sieht irgendwie komisch notiert aus.
Falls ja: woher weiß ich $k = 1 + 1 + ... + 1$?
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Triceratops
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| Beitrag No.3, eingetragen 2020-12-01
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Wiederhole die Definition und die Grundlagen zu $\IZ/p\IZ$.
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Triceratops
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| Beitrag No.4, eingetragen 2020-12-01
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\quoteon(2020-12-01 16:43 - alex160897 im Themenstart)
I) $W \neq \emptyset$ (da $0 \in W$)
\quoteoff
Hierzu: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=181314
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alex160897
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-01
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\quoteon(2020-12-01 16:54 - Triceratops in Beitrag No. 3)
Wiederhole die Definition und die Grundlagen zu $\IZ/p\IZ$.
\quoteoff
Hat $\IZ/p\IZ$ denn einen "Namen" unter dem ich nachlesen kann? Ich finde bei uns im Skript dazu nicht viel.
\quoteon(2020-12-01 16:55 - Triceratops in Beitrag No. 4)
\quoteon(2020-12-01 16:43 - alex160897 im Themenstart)
I) $W \neq \emptyset$ (da $0 \in W$)
\quoteoff
Hierzu: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=181314
\quoteoff
Hab es mir eben angeschaut und bin mir nicht ganz sicher, was du mir sagen möchtest. Mein Argument war gewesen, dass $(W, +)$ eine Gruppe ist, also ein neutrales Element 0 bezüglich der Addition enthält, also nicht leer ist. Ist das falsch?
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Triceratops
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| Beitrag No.6, eingetragen 2020-12-01
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1) https://de.wikipedia.org/wiki/Endlicher_K%C3%B6rper
2) Es geht einfach darum, dass (und warum) "die Menge ist nichtleer" nirgendwo in einem Untergruppen- oder Unterraumkriterium auftreten sollte, und wodurch es ersetzt werden sollte: "die Null ist enthalten".
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alex160897
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-01
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\quoteon(2020-12-01 17:21 - Triceratops in Beitrag No. 6)
1) https://de.wikipedia.org/wiki/Endlicher_K%C3%B6rper
2) Es geht einfach darum, dass (und warum) das Wort "nichtleer" nirgendwo in einem Untergruppen- oder Unterraumkriterium auftreten sollte, und wodurch es ersetzt werden sollte (das neutrale Element ist enthalten).
\quoteoff
Aber... doch nicht jedes Element eines endlichen Körpers muss über Summation von 1 erreicht werden können, oder? (Es macht für mich intuitiv Sinn, dass das bei den $\IZ/p\IZ$ durchaus so ist. Ich weiß nur gerade nicht, ob ich das direkt benutzen kann ohne viel hinzuschreiben. Oder was war deine Meinung zu meiner Notation von oben?)
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Triceratops
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| Beitrag No.8, eingetragen 2020-12-01
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Bei endlichen Körpern muss es nicht so sein, aber bei $\IZ/p\IZ$ ist es so. Und es folgt sofort aus der konkreten Beschreibung dieses Körpers (siehe dazu Wikipedia oder dein Skript). Alle Elemente sind ja $[k]$ mit $0 \leq k < p$, und das ist einfach die $k$-fache Summe von $[1] = 1$.
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