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  Relationseigenschaften nachweisen - schwieriges Beispiel |
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Logik_Noob
Junior 
Dabei seit: 30.11.2020
Mitteilungen: 16
 |  Themenstart: 2020-12-04
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Hallo,
ich stehe ein wenig auf dem Schlauch und komme nicht ganz weiter, vielleicht kann mir ja jemand einen Denkanstoß geben.
\light\ Aufgabe:
Zeigen Sie welche Eigenschaften (Reflexivität, Symmetrie, Antisymmetrie und Transivität) die folgende Relation besitzt:
R = {(a,b) \el\ \IZ x \IZ : \exists\ z \el\ \IZ : a-b = z*p} für ein festes p \el\ N
\light\ Gegebene Lösung (ohne Lösungsweg):
Ist reflexiv.
Ist symmetrisch.
Ist nicht antisymmetrisch.
Ist transitiv.
Aufgrund der bekannten Lösungen weiß ich, dass ich irgendwas falsch mache bloß nicht was:
\light\ Eigener Lösungsansatz:
\stress\ Reflexivität:
\forall\ a \el\ M: aRa
konkret: \forall\ a \el\ \IZ und \exists\ z \el\ \IZ : a-a=z*p
Beispiel: sei a=1, z=0: 1-1=0*p
Ist reflexiv.
\stress\ Symmetrie:
\forall\ a,b \el\ M: aRb => bRa
konkret: \forall\ a,b \el\ \IZ und \exists\ z \el\ \IZ: a-b=z*p => b-a=z*p
\red\ Gegenbeispiel: a=2, b=5: 2-5=-3=-1*3 => 5-2=3!=-1*3
\red\ Hier habe ich also vermeintlich ein Gegenbeispiel gefunden und die Relation wäre demnach nicht symmetrisch, was sie aber laut Lösung ist.
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 Profil
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10924
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2020-12-04
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
es ist ja \(b-a=-(a-b)=-z\cdot p\), also gibt es ein solches \(z'=-z\) und die Relation ist symmetrisch.
Es muss ja nicht für beide Fälle das gleiche z sein, nur p ist hier fest vorgegeben!
Sagen dir die Begriffe Kongruenzrechnung bzw. Restklasse etwas? Das nur so als Tipp, um die vorgegebene Relation besser zu verstehen...
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Logik, Mengen & Beweistechnik' in Forum 'Relationen und Abbildungen' von Diophant]\(\endgroup\)
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AnnaKath
Senior 
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 3818
Wohnort: hier und dort (s. Beruf)
 | Beitrag No.2, eingetragen 2020-12-04
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Huhu Logik_Noob,
\quoteon(2020-12-04 12:27 - Logik_Noob im Themenstart)
$\forall\ a,b \in\ \IZ \exists\ z \in\ \IZ: a-b=z*p => b-a=z*p$
Gegenbeispiel: $a=2, b=5: 2-5=-3=-1*3 => 5-2=3!=-1*3$
\quoteoff
Was Du hier angibst ist kein Gegenbeispiel. Du hast richtig überlegt, dass $(2,5)\in R$ (mit $p=3$) gilt, da es ein geeignetes $z_1\in\mathbb{Z}$ gibt mit $2-5=z_1 \cdot 3$, nämlich $z_1=-1$. Willst Du nun $5R2$ bewerten, so musst Du untersuchen, ob es $z_2\in\mathbb{Z}$ gibt, mit $5-2=z_2 \cdot 3$. Zumindest ich hätte da eine Idee...
lg, AK.
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.3, eingetragen 2020-12-04
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\quoteon(2020-12-04 12:27 - Logik_Noob im Themenstart)
Hallo,
ich stehe ein wenig auf dem Schlauch und komme nicht ganz weiter, vielleicht kann mir ja jemand einen Denkanstoß geben.
\light\ Aufgabe:
Zeigen Sie welche Eigenschaften (Reflexivität, Symmetrie, Antisymmetrie und Transivität) die folgende Relation besitzt:
R = {(a,b) \el\ \IZ x \IZ : \exists\ z \el\ \IZ : a-b = z*p} für ein festes p \el\ N
\light\ Gegebene Lösung (ohne Lösungsweg):
Ist reflexiv.
Ist symmetrisch.
Ist nicht antisymmetrisch.
Ist transitiv.
Aufgrund der bekannten Lösungen weiß ich, dass ich irgendwas falsch mache bloß nicht was:
\light\ Eigener Lösungsansatz:
\stress\ Reflexivität:
\forall\ a \el\ M: aRa
konkret: \forall\ a \el\ \IZ und \exists\ z \el\ \IZ : a-a=z*p
Beispiel: sei a=1, z=0: 1-1=0*p
Ist reflexiv.
\stress\ Symmetrie:
\forall\ a,b \el\ M: aRb => bRa
konkret: \forall\ a,b \el\ \IZ und \exists\ z \el\ \IZ: a-b=z*p => b-a=z*p
\red\ Gegenbeispiel: a=2, b=5: 2-5=-3=-1*3 => 5-2=3!=-1*3
\red\ Hier habe ich also vermeintlich ein Gegenbeispiel gefunden und die Relation wäre demnach nicht symmetrisch, was sie aber laut Lösung ist.
\quoteoff
Offensichtlich stehen $a,b \in \mathbb{Z}$ genau dann in Relation, wenn a und b modulo p den gleichen Rest ergeben. Hattet ihr in der Vorlesung vielleicht den Satz, dass Restklassen modulo p Äquivalenzklassen sind? Oder vielleicht den Satz, dass eine vollständige Zerlegung in paarweise disjunkte Teilmengen eine Äquivalenzrelation definiert, dessen Äquivalenzklassen genau die disjunkten Mengen sind?
Damit hättest du auf einen Schlag, die Reflexivität, Symmetrie und Transitivität erledigt.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]
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Logik_Noob
Junior
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Mitteilungen: 16
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-04
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@algbr
Äquivalenzrelationen bzw. -klassen werden bei mir erst später behandelt.
@Diophant & @AnnaKath
Danke, das war genau mein Problem. Ich habe die Relation falsch gelesen. Das z darf natürlich verschieden sein.
Kongruenzrechnung bzw. Restklasse sagt mir nicht sonderlich viel. Ich kenne Modulo aus der Programmierung, aber diese Themen werden auch erst etwas später behandelt soweit ich weiß
Habe die Aufgabe jetzt mal fortgeführt:
\stress\ Symmetrie:
\forall\ a,b \el\ M: aRb => bRa
konkret: \forall\ a,b \el\ \IZ und \exists\ z_1 ,z_2\el\ \IZ:
a-b=z_1 *p => b-a=z_2 *p
Beispiel: a=2, b=5, p=3 dann
2-5=-3=-1*3 => 5-2=3=-1*3
ist symmetrisch.
\stress\ Antisymmetrie:
\forall\ a,b\el\ M: aRb\and\ bRa => a=b
konkret: \forall\ a,b\el\ \IZ und \exists\ z_1, z_2\el\ \IZ:
a-b=z_1 *p \and\ b-a=z_2*p => a=b
Gegenbeispiel: a=2, b=5, p=3 dann
-3=-3 \and\ 3=3 aber -3!=3
ist nicht antisymmetrisch.
\stress\ Transitivität:
\forall\ a,b,c\el\ M: aRb\and\ bRc=>aRc
konkret: \forall\ a,b,c \el\ \IZ und z_1, z_2, z_3\el\ \IZ:
a-b=z_1 *p \and\ b-c=z_2*p => a-c=z_3 *p
Beispiel: a=5, b=3, c=4, p=1 dann
5-3=2=2*1 \and\ 3-4=-1=-1*1 => 5-4=1=1*1
ist transitiv.
Jetzt bin ich mir allerdings nicht sicher ob es reicht ein einfaches Beispiel quasi als "Beweis" für die Antisymmetrie und Transitivität anzugeben. Man soll es ja nur "zeigen" laut Aufgabe.
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10924
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.5, eingetragen 2020-12-04
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
meiner Ansicht nach solltest du sowohl bei der Symmetrie als auch bei der Transitivität diese Zahlen \(z_2,z_3\) konkret benennen. Es reicht nicht, Variable hinzuschreiben und dann zu sagen, dass es sie gibt...
Überlege dir einmal für die Transitivität einen geeigneten Weg, aus den beiden Gleichungen \(a-b=z_1p\) und \(b-c=z_2p\) das \(b\) zu eliminieren...
Für die Antisymmetrie reicht natürlich das Gegenbeispiel, weil man hier ja etwas widerelegt. Dennoch würde ich auch hier \(z_2\) konkret benennen.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Logik_Noob
Junior
Dabei seit: 30.11.2020
Mitteilungen: 16
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-07
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Danke schon mal fürs Feedback.
Ich würde bei der Symmetrie also noch ergänzen:
\stress\ Symmetrie:
\forall\ a,b \el\ M: aRb => bRa
konkret:
\forall\ a,b \el\ \IZ und \exists\ z_1, z_2\el\ \IZ:
a-b=z_1 *p => b-a=z_2 *p
Beispiel:
Seien a=2, b=5, p=3, z_1=-1, z_2=1 dann
2-5=-3=-1*3 => 5-2=3=1*3
Die Relation ist symmetrisch.
Also meinst du es wäre in dieser Form schon ausreichend bewiesen?
Zur Transitivität habe ich mal versucht deinem Vorschlag zu folgen:
\stress\ Transitivität:
\forall\ a,b,c\el\ M: aRb\and\ bRc=>aRc
konkret:
\forall\ a,b,c \el\ \IZ und \exists\ z_1, z_2, z_3\el\ \IZ:
(a-b=z_1 *p) \and\ (b-c=z_2*p) => a-c=z_3 *p
Es gilt:
a-c=a-c+(b-b)=(a-b)+(b-c)=z_1*p+z_2*p=(z_1+z_2)*p
Daraus folgt:
\exists\ z_3=(z_1+z_2)\el\ \IZ sodass a-c=z_3*p
Die Relation ist transitiv.
Kann man das so machen? Es hat lange gedauert bis ich darauf gekommen bin, mit Beispielen zu arbeiten fällt mir doch deutlich leichter 😄
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Diophant
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Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.7, eingetragen 2020-12-07
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
bei der Transitivität hast du es jetzt richtig gemacht, wenn ich nichts übersehe. Bei der Symmetrie fehlt nach wie vor der Hinweis \(z_2=-z_1\).
Auch wenn das "trivial" ist: im Rahmen solcher Aufgaben muss man schon so gründlich sein: durch die konkrete Benennung ist klar, dass es dieses \(z_2\) gibt.
Das mit dem Prinzip der nahrhaften Null für die Transitivität finde ich eine elegante Lösung!
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Logik_Noob
Junior
Dabei seit: 30.11.2020
Mitteilungen: 16
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-07
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Ah ich glaube jetzt hab ichs kapiert
\stress\ Symmetrie:
\forall\ a,b \el\ M: aRb => bRa
konkret:
\forall\ a,b \el\ \IZ und \exists\ z_1, z_2\el\ \IZ:
a-b=z_1 *p => b-a=z_2 *p
Es gilt:
z_2*p=b-a=-(a-b)=-(z_1*p)
Daraus folgt:
\exists\ z_2=-z_1 sodass b-a=z_2*p
Die Relation ist symmetrisch.
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Diophant
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Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.9, eingetragen 2020-12-07
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Hallo,
genau. Das ist jetzt sehr ausführlich, aber sicher ist sicher.
Gruß, Diophant
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Logik_Noob hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Logik_Noob hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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