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 Beweis, dass das Lebesgue-Prämaß wirklich ein Prämaß ist |
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Gast123
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 13.10.2019
Mitteilungen: 137
 |  Themenstart: 2020-12-07
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Hallo,
das Lebesgue Prämaß wird für einen Quader wie folgt definiert:
$\lambda(Q) = \prod_{i=1}^{N}(b_i - a_i)$.
Für eine Elementarfigur $E = Q_1\dot{\bigcup} ... \dot{\bigcup} Q_r$ (die man immer als eine endliche, disjunkte Vereinigung von Quadern darstellen kann) gilt dann:
$\lambda(Q) = \sum_{i=1}^{r} \lambda(Q_i)$
Nun wurde in meiner Vorlesung bewiesen, dass das so definierte $\lambda$ tatsächlich ein Prämaß ist.
Für den Beweis siehe zB:
https://www.math.uni-tuebingen.de/de/forschung/maphy/lehre/ws-2020-21/masstheorie/dateien/mfph4-int.pdf
S.8/9, Beweis von Proposition 1.11, Teil 1
Diesen Beweisen ist gemein, dass man $\lambda(E) \leq \sum_{k=1}^{\infty} \lambda (E_k)$ zeigt, wobei $E=\dot{\bigcup}_{k=1}^{\infty} E_k$ gilt. (Dann muss man natürlich auch noch die Rückrichtung zeigen, aber die ist verständlich).
Bei diesem Beweis kommt man dann immer zu dem Punkt an dem man den Satz von Heine-Borel anwendet, um von einer unendlichen Überdeckung zu einer endlichen Überdeckung überzugehen.
Und dabei verstehe ich nicht, warum es notwendig ist zu einer endlichen Überdeckung der Elementarfiguren überzugehen. So wie ich es sehe, würde der Beweis doch auch funktionieren, wenn man einfach mit den abzählbar vielen Überdeckungen weiterarbeitet oder? Vor allem, da man am Ende dann sowieso wieder den Grenzübergang macht und bis unendlich summiert.
Warum also ist es in diesem Beweis notwendig, den Zwischenschritt zu machen, auf endlich viele Überdeckungen abzusteigen und dann wieder zu unendlich vielen zurückzugehen?
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StefanVogel
Senior 
Dabei seit: 26.11.2005
Mitteilungen: 4244
Wohnort: Raun
| Beitrag No.1, eingetragen 2020-12-12
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Hallo Gast123,
den Grund vermute ich darin, wenn bei dem Umformungsschritt mit der Subadditivität unendlich viele Summanden stehen würden, dann wäre \(\sigma\)-Subadditivität erforderlich. Ich bin mir aber nicht sicher, ob in der dort verwendeten Definition der Subadditivität nur Summen mit endlich vielen Summanden gemeint sind.
Viele Grüße,
Stefan
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Gast123
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 13.10.2019
Mitteilungen: 137
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-12
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Hallo Stefan Vogel,
danke für deine Antwort und die Mühe dir den Beweis mal anzuschauen!
Also tatsächlich ist es ja komisch, dass in dem Beweis ja die Monotonie und die Sigma-Subadditivität von $\lambda$ verwendet wird, obwohl man ja in dem Beweis erst zeigen möchte, dass $\lambda$ ein Prämaß ist. D.h., in dem Beweis darf man das ja eigentlich noch gar nicht verwenden. Oder?
Vielleicht hat es dann etwas damit zu tun, dass man $\lambda$ für Elementarfiguren definiert hat. Und jede Elementarfigur ist eine endliche (nicht abzählbare) Vereinigung von Quadern. Evtl hat es also damit etwas zu tun, dass man auf endlich viele Überdeckungen absteigen muss?
Allerdings ist mir dann immer noch nicht klar, wie man Monotonie und Sigma Subadditivität verwenden kann für $\lambda$ wenn man noch gar nicht weiß, dass es ein Prämaß ist. Oder kann man Monotonie und Sigma-Subadditivität für $\lambda$ einfach schon aus dessen Definition ($\lambda(Q) = \prod_{i=1}^{N}(b_i - a_i)$) ablesen?
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StefanVogel
Senior
Dabei seit: 26.11.2005
Mitteilungen: 4244
Wohnort: Raun
| Beitrag No.3, eingetragen 2020-12-12
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Ja, das ist auch meine Vermutung. Sigma-subadditiv darf man im Beweis noch nicht verwenden, deshalb wird versucht, Summen mit endlicher Indexmenge zu finden, deren Subadditivität man einfach "ablesen kann" wie du das formulierst. Ich habe das aber noch nicht versucht.
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Gast123
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 13.10.2019
Mitteilungen: 137
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-17
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okay ja danke schon mal dafür!
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