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 Determinante Metriktensor |
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Clvrhammer
Aktiv 
Dabei seit: 06.11.2019
Mitteilungen: 21
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Grüße,
Ich beschäftige mich gerade mit einer Übungsaufgabe zur Differentialgeometrie. Dort wird ein metrische Tensor $g$ in der Form
$$g = g_{ij} \; dx^i \otimes dx^j$$
geschrieben. Nun ich hatte bereits mit Metriken zu tun, diese Darstellung (mit dem Tensorprodukt) kam mir jedoch noch nie unter. Ich weiß nun leider nicht wie diese zu interpretieren bzw. zu handhaben ist.
Wie berechne ich z.B. die Determinante der Metrik? Betrachte ich nur die Komponenten des Tensors, so würde ich diese berechnen wie folgt:
$$ \det g = \sum_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma) \prod_{i = 1}^n g_{i , \sigma(i)} $$
Wie würde jedoch hier das Tensorprodukt "einfließen"? Wie würde die Berechnung der Determinante mathematisch rigoros dargestellt werden?
MfG
Clvrhammer
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Teido
Aktiv 
Dabei seit: 26.10.2015
Mitteilungen: 57
 |      Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-20
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Hallo Clvrhammer,
Zur Interpretation:
Ganz anschaulich gesagt gibt dir die Tensorbasis an, an welcher Stelle in der darstellenden Matrix der Eintrag steht, bei welchem die Indizes der Koeffizienten mit denen der Basis übereinstimmen. Z.b. bzgl. der kanonischen Basis: \((15)e_1 \otimes e_2 \); hier steht die 15 in der ersten Zeile und zweiten Spalte.
Formell gesehen wird hier ein ,,Produkt" zweier Vektorräume gebildet, wodurch eine Lineare Abbildung entsteht.
Speziell für die Metrik aus deiner Übungsaufgabe:
Der metrische Tensor (auch erste Fundamentalform) lässt sich in der Differentialgeometrie wie folgt berechnen:
Ist \(S \subset \mathbb{R}^3 \)eine reguläre Fläche, \( p \in S \) und F eine parametrisierung bzgl. S in p.
Die Komponenten ergeben sich dann aus \( g_{ij} := \langle \frac{\partial F}{\partial x^i},\frac{\partial F}{\partial x^i} \rangle \).
Aus diesen Komponenten kann dann die Determinante berechnet werden. Daher sollte die Tensorbasis in deinem Fall erstmal nicht relevant sein.
Meine Vermutung ist, das hier eher eine symbolische Notation zu grunde liegt. In späteren intrinsischen Formulierungen ohne eine Einbettung werden die Basisvektoren des Tangentialraumes allein durch die partiellen Ableitungen beschrieben, also \(\frac{\partial}{\partial x^i} \). Da würde ich zunächst einen Verbindung vermuten, vielleicht kann jemand anderes etwas mehr dazu sagen.
Grüße
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