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| Autor |
  Translationsinvarianz Lebesgue-Maß A und -A |
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th57
Aktiv 
Dabei seit: 14.12.2020
Mitteilungen: 66
 |  Themenstart: 2020-12-14
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Hallo,
Ich habe eine Frage zu einer Aufgabe bezüglich des Lebesgue-Maß \(\lambda\) auf \(\mathcal{B}(\mathbb{R})\).
Und zwar habe ich eine positive messbare Menge \(A\) und definiere mir \(-A = \{-x, x\neq 0\ x\in A\}\). Nun möchte ich zeigen (also falls die Aussage stimmt), dass \(\lambda(A\cup-A)=2\lambda(A)\) mit der \(\sigma\)-Addititvität.
Ich denke mir, dass das mit der Translationsinvarianz von \(\lambda\) gehen sollte, also falls man "schöne" Mengen der Form \(A=[a,b]\ a,b\geq0\) also
\(-A = [-b,-a]\) hat, kann ich diese ja einfach verschieben mit \(z = b+a\) und erhalte \(z+-A = A\) und damit die Gleichheit des Maßes.
Falls \(A\) nun aus disjunkten Vereinigungen positiver Intervalle besteht, kann ich ja jedes extra verschieben und erhalte mit der \(\sigma\)-Addititvität die Gleichheit. Allerdings weiß ich nicht, wie hässlich messbare Mengen werden können und deshalb ist meine Frage nun:
Ist meine oben genannte Aussage allgemeingülig für beliebige positive messbare Mengen und wenn ja, wie zeige ich das?
Liebe Grüße und schon mal vielen Dank
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ochen
Senior 
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 3656
Wohnort: der Nähe von Schwerin
| Beitrag No.1, eingetragen 2020-12-14
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Hallo,
es gilt $\lambda(A\cup (-A))=2\lambda(A)$ nur, wenn $A$ und $-A$ sich höchstens auf einer Nullmenge schneiden.
$A$ und $-A$ sind nicht zueinander verschobene Mengen, eher gespiegelt oder rotiert.
[Verschoben aus Forum 'Topologie' in Forum 'Maßtheorie' von ochen]
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th57
Aktiv
Dabei seit: 14.12.2020
Mitteilungen: 66
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-14
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ok Danke schon mal für den Tipp,
aber sind meine Mengen nicht nach Konstruktion schon disjunkt?
Also A sind ja nur positive Zahlen und -A die negativen dazu, ich befinde mich sogar ganz einfach nur auf \(\mathbb{R}\).
Das mit gespiegelt ergibt schon Sinn. Nur leider kenn ich keinen Satz dazu aus der Vorlesung, der mir die Gleichheit dann von \(\lambda(A) = \lambda(-A)\) gibt.
Also wenn ihr dafür auch noch etwas hättet?
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Triceratops
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 6472
Wohnort: Berlin
 |  Beitrag No.3, eingetragen 2020-12-15
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\quoteon(2020-12-14 19:47 - th57 in Beitrag No. 2)
Also A sind ja nur positive Zahlen
\quoteoff
Wo steht das?
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zippy
Senior 
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4652
 | Beitrag No.4, eingetragen 2020-12-15
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\quoteon(2020-12-15 00:47 - Triceratops in Beitrag No. 3)
\quoteon(2020-12-14 19:47 - th57 in Beitrag No. 2)
Also A sind ja nur positive Zahlen
\quoteoff
Wo steht das?
\quoteoff
\quoteon(2020-12-14 18:09 - th57 im Themenstart)
Und zwar habe ich eine positive messbare Menge \(A\)
\quoteoff
Wobei die Bezeichnung "positive Menge" für "Menge positiver Zahlen" nicht gerade üblich ist.
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th57
Aktiv 
Dabei seit: 14.12.2020
Mitteilungen: 66
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-15
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Ja da habe ich vielleicht schon wieder ein bisschen zu viel von meiner Vorarbeit weggenommen, also hier noch mal formaler.
Ich habe eine messbare Menge \(A^{'}\in\mathcal{B}(\mathbb{R})\) und schneide diese mit \(\mathbb{R}_{\geq0}\), also \(A = A^{'}\cap\mathbb{R}_{\geq0}\) diese bleibt ja messbar, da \(\mathcal{B}(\mathbb{R})\) abgeschlossen gegenüber dem Schnitt ist.
Nun definiere ich mir \(-A = \{-x:\ x\neq 0\ x\in A\}\) und möchte zeigen, dass \(\lambda(A\cup-A) = \lambda(A)+\lambda(-A) = 2\lambda(A)\) (da \(A\) und \(-A\) disjunkt sind), dafür brauche ich natürlich eine Begründung, dass \(-A\) messbar ist und dass die Gleichung stimmt.
Hoffe, damit ist es klar geworden
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Triceratops
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 6472
Wohnort: Berlin
| Beitrag No.6, eingetragen 2020-12-15
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$x \mapsto -x$ ist stetig und damit messbar, also ist mit $A$ auch $-A$ messbar. Und damit ist auch $-A \setminus \{0\}$ (das, was du fälschlicherweise mit $-A$ bezeichnest) messbar.
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th57
Aktiv
Dabei seit: 14.12.2020
Mitteilungen: 66
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-15
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Ok vielen Dank.
Damit ist meine Frage erledigt
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