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  Komplexe Zahlen Dreiecksungleichung Gleichheit |
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Maths_ass
Junior 
Dabei seit: 17.12.2020
Mitteilungen: 11
 |  Themenstart: 2020-12-17
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Hallo,
Ich bin Mathe-Ersti und sitze gerade an meinen Übungsaufgaben!
Man soll zeigen, dass die Dreiecksungleichung für alle komplexen Zahlen z und w aus C die Gleichheit genau dann erfüllt, wenn z=r*w mit r in R und r ist positiv, sodass also
Iz+wI=IzI+IwI für z=r*w mit r in R und r>0
Ich habe mir das bereits an einem konkreten Beispiel verdeutlicht und bin zunächst Schritt für Schritt den Beweis für die Dreiecksungleichung in den komplexen Zahlen durchgegangen! Mein großes Problem ist jedoch die Gleichheit für die gegebenen Bedingungen zu zeigen/beweisen!
Hat jemand vielleicht einen Tipp für mich, wie ich da am Besten anfange?
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 Profil
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10923
Wohnort: Rosenfeld, BW
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2020-12-17
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo und willkommen hier im Forum!
Könntest du deinen Beweis mal noch vorzeigen?
Ich frage deshalb: wenn man das mit \(z=x+iy\) und \(w=u+iv\) rechnerisch zeigt, indem man die komplexe Dreiecksungleichung auf eine reelle Ungleichung der Form \(0\le \left(f(u,v,x,y)\right)^2\) zurückführt, dann steht der zu zeigende Sachverhalt im Prinzip da.
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Komplexe Zahlen' von Diophant]\(\endgroup\)
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wladimir_1989
Senior 
Dabei seit: 23.12.2014
Mitteilungen: 1727
Wohnort: Freiburg
 | Beitrag No.2, eingetragen 2020-12-17
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Hallo Maths_ass und willkommen auf dem Matheplaneten,
hast du bereits die Hinrichtung bewiesen, also wenn \(z=rw\), dann \(|z+w|=|z|+|w|\)? Das kann man ja einfach nachrechnen.
lg Wladimir
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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Maths_ass
Junior 
Dabei seit: 17.12.2020
Mitteilungen: 11
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-19
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\quoteon(2020-12-17 23:10 - wladimir_1989 in Beitrag No. 2)
Hallo Maths_ass und willkommen auf dem Matheplaneten,
hast du bereits die Hinrichtung bewiesen, also wenn \(z=rw\), dann \(|z+w|=|z|+|w|\)? Das kann man ja einfach nachrechnen.
lg Wladimir
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
\quoteoff
Danke, dass hat mir schon sehr geholfen!
Die Hinrichtung habe ich jetzt erfolgreich beweisen können!
Jetzt muss ich ja sozusagen noch zeigen, dass
Iz+wI=IzI+IwI => z=r*w
Haben sie da einen Tipp, wie ich den Beweis am Besten beginne?
Vielen Dank nochmals
Lg 🤓
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10923
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.4, eingetragen 2020-12-19
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Hallo Maths_ass,
du könntest dafür bspw. meinen Hinweis aus Beitrag #1 verwenden.
Gruß, Diophant
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Maths_ass
Junior
Dabei seit: 17.12.2020
Mitteilungen: 11
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-19
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\quoteon(2020-12-19 21:15 - Diophant in Beitrag No. 4)
Hallo Maths_ass,
du könntest dafür bspw. meinen Hinweis aus Beitrag #1 verwenden.
Gruß, Diophant
\quoteoff
Hallo,
Ich probiere das gerade nochmal aus!
Jedoch komme ich glaube ich zu keinem logischen Ergebnis!
Als Zwischenergebnis habe ich die Ungleichung
0=<2*Iz*wI-z*(w*)-(z*)*w
Hier ist mit (w*) und (z*) das konjugierte der Zahl gemeint!
Mein Ansatz war jetzt dies einfach mal für 2 allgemeine komplexe Zahlen z.B. z=a+ib w=c+id einzusetzen!
Allerdings komme ich da nicht weiter🤔
Lg und danke im Voraus!
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10923
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.6, eingetragen 2020-12-19
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
fange von vorn herein so an:
\[\left|(x+iy)+(u+iv)\right|\le\left|x+iy\right|+\left|u+iv\right|\]
Dann geht es grob so weiter:
- schreibe die Beträge per Wurzel und quadriere
- löse nach der verbleibenden Wurzel auf und quadriere erneut
- bringe alles auf die 'größer-gleich'-Seite und faktorisiere per Binom.
Und jetzt überlege, wann Gleichheit eintritt und was das für die beiden Zahlen bedeutet.
Gruß, Diophant
\(\endgroup\)
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Maths_ass
Junior
Dabei seit: 17.12.2020
Mitteilungen: 11
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-20
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Wow!
Vielen Dank!
Ich habe es tatsächlich geschafft!
Danke für ihre Zeit und Mühe!
Liebe Grüße und einen schönen Abend noch 🤗
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