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 Basis von Vektorräumen |
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viganme
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 04.04.2020
Mitteilungen: 60
 |  Themenstart: 2020-12-23
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Hallo,
ich hätte vielleicht eine etwas komische Frage, für die ich aber keine intuitive Antwort finde.
In unserem Skript in der Linearen Algebra steht: Jeder aus endlich vielen Vektoren erzeugte Vektorraum, hat eine Basis.
Was an sich ja ganz Klar ist. Aber dadurch kam mir die Frage auf: Gibt es Vektorräume die überhaupt keine Basis besitzen?
Auf diese Frage hätte ich eigentlich mit 'nein' geantwortet, aber da diese klare o.g. Aussage anscheinend so wichtig ist, das sie Platz in unserem Skript findet, so scheint mir meine Frage dann doch nicht so klar zu sein.
Falls es solche Vektorräume ohne Basen gibt, würde ich mich über einen Beispiel freuen.
Liebe Grüße
Vigan
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Wally
Senior 
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9727
Wohnort: Dortmund, Old Europe
 | Beitrag No.1, eingetragen 2020-12-23
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Hallo, viganme,
das ist eine Glaubenssache: wenn man das Lemma von Zorn für richtig hält, hat jeder Vektorraum eine Basis.
Was in deinem Satz steht, ist wahrscheinlich aber ein konstruktiver Beweis, und den gibt es im allgemeinen nicht.
Man kann zeigen, dass unendlichdimensionale Banachräume nur überabzählbare Basen haben können.
Viele Grüße
Wally
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Nuramon
Senior 
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3705
| Beitrag No.2, eingetragen 2020-12-23
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Hallo,
jeder Vektorraum hat eine Basis. Um das zu zeigen benötigt man das Zornsche Lemma.
Um dieses mengentheoretische Lemma in einer Erstsemestervorlesung nicht thematisieren zu müssen, begnügt man sich daher in manchen Vorlesungen zur Linearen Algebra mit der Aussage, dass jeder endlich erzeugte Vektorraum eine Basis hat.
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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viganme
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 04.04.2020
Mitteilungen: 60
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-23
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Danke für eure Antwort. Ich habe grad gelesen, dass das Lemma von Zorn äquivalent zum Auswahlaxiom ist, d.h. wie schon @Wally sagte, eine Glaubenssache ist.
Was ich auch gelesen habe das aus dem Lemma von Zorn folgt, dass jeder Vektorraum eine Basis besitzt. Gilt auch die Umkehrung?
Bzw. eine andere Frage, lässt sich meine Frage auch ohne Auswahlaxiom beantworten?
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Nuramon
Senior
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3705
| Beitrag No.4, eingetragen 2020-12-23
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In ZF sind das Auswahlaxiom und die Aussage, dass jeder Vektorraum eine Basis hat, äquivalent. Für die Rückrichtung siehe hier.
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geometerrosaurus
Neu
Dabei seit: 16.12.2020
Mitteilungen: 2
Wohnort: der Kreidezeit
 | Beitrag No.5, eingetragen 2020-12-23
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Wenn Dich das interessiert, dann ist hier ein interessanter Artikel über Basen in Banachräumen: https://people.math.ethz.ch/~halorenz/publications/pdf/metal.pdf
Viel Spass!
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viganme
Wenig Aktiv
Dabei seit: 04.04.2020
Mitteilungen: 60
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-24
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Danke für eure Antworten. Das ist erstmal genug Material mit dem ich mich beschäftigen kann:) Danke dafür:) und schöne Feiertage noch!
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Triceratops
Wenig Aktiv
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 6472
Wohnort: Berlin
 |  Beitrag No.7, eingetragen 2020-12-24
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\quoteon(2020-12-23 14:48 - Nuramon in Beitrag No. 4)
In ZF sind das Auswahlaxiom und die Aussage, dass jeder Vektorraum eine Basis hat, äquivalent. Für die Rückrichtung siehe hier.
\quoteoff
Der Beweis von Andreas Blass wurde auch in diesem Artikel ausgeführt: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=712
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viganme hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
viganme hatte hier bereits selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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