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  Faktorräume - Dimension |
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S3bi
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 |  Themenstart: 2021-01-02
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Also ich sitze nun seit mehreren Stunden an der Aufgabe und komme nicht weiter:
Sei X unterraum von R, Sei V:= Abb(R,R) und W_x := {f element V| f(x) =0 für alle x element X}; Zeigen Sie folgende Aussage:
W_x ist genau dann endlichdimensional, wenn die Menge R \ X endlich ist.
Mein Ansatz ist, dass hier ja die Beweismethode ist, dass man erst das eine annimmt und dann das andere beweist und dann andersherum.
Wenn dann W_x endlich dimensional ist, dann gilt ja, dass die Basis endlich dimensional ist und jeweils die Elemente (hier Funktionen) linear unabhängig sind voneinander. Dazu ist doch die Dimension von V gleich 1*1 =1 und dementsprechend die Dimension von W_x kleiner gleich der von V. Mir ist noch nicht klar, wie ich mit dem R ohne X umgehe. Für mich ist R endlich dimensional und X auch, dann ist das R ohne X auf jedenfall endlich dimensional oder? und wie zeige ich das?
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ligning
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 |  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-02
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Hallo und Willkommen auf dem Matheplaneten!
Bist du sicher, dass es in der Aufgabenstellung heißt, dass $X$ ein Unterraum von $\IR$ sein soll? Sollte es nicht eher eine beliebige Teilmenge sein?
Weiter bist du vermutlich beim Verständnis von $\mathrm{Abb}(\IR,\IR)$ auf dem Holzweg, das sind alle Abbildungen $\IR\to\IR$, nicht nur die linearen. Folglich ist auch die Dimension von $V$ unendlich, nicht 1.
[Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Vektorräume' von ligning]
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S3bi
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-02
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ääh ja ich meine Teilmenge - sorry. Hatten in letzter Zeit immer nur Untterräume gefühlt und hatte das Symbol nicht gefunden.
Also das Verständnis des Vektorraums ist eigentlich klar - das ist die Menge aller Funktionen, die von R auf R abbilden. Dann gab es noch eine "Formel, dass die Dimension bei der Menge der Homomorphismen dim(hom(V,W) = dim (V)*dim(W) ist.- Dann gilt die also nur für lineare Abbildungen.
Dann weiß ich trotzdem nicht genau, wie ich weiter machen muss.
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Triceratops
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 |  Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-03
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Du kannst dir überlegen, dass $W_X$ als Vektorraum zu $\mathrm{Abb}(\IR \setminus X , \IR)$ isomorph ist. Es bleibt dann also nur noch zu zeigen:
Wenn $S$ eine Menge ist, dann ist der $K$-Vektorraum $\mathrm{Abb}(S,K)$ genau dann endlich-dimensional, wenn $S$ endlich ist.
Ich gehe davon aus, dass ihr $\Leftarrow$ schon behandelt habt. Für $\Rightarrow$ kannst du dir Elemente $e_s \in \mathrm{Abb}(S,K)$ für $s \in S$ definieren derart, dass $(e_s)_{s \in S}$ linear unabhängig ist. Wenn der Vektorraum endlich-dimensional ist, muss also $S$ endlich sein (und dieses Tupel ist dann tatsächlich die bekannte kanonische Basis).
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S3bi
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-03
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Intuitiv hätte ich gesagt, dass W_x isomorph zu Abb(X,R) ist, weil ich mich in bei W_x ja quasi nur auf X beschränke, die ich ja auf R abbilde. (?)
Mir ist auch noch nicht visuell klar, warum Abb(S,R) endlich dimensional ist. Ich kann doch auch "willkürlich" die Abbildungen zwischen S und R spannen. Kann mir auch wenig vorstellen, wie eine Basis der Menge der Abbildungen aussieht. (hier habe ich glaube ich noch ein paar Verständnisprobleme)
Dass e_s linear unabhängig ist, kann ich doch dann einfach annehmen? oder muss ich das auch zeigen?
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ligning
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| Beitrag No.5, eingetragen 2021-01-03
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\quoteon(2021-01-03 09:13 - S3bi in Beitrag No. 4)
Intuitiv hätte ich gesagt, dass W_x isomorph zu Abb(X,R) ist, weil ich mich in bei W_x ja quasi nur auf X beschränke, die ich ja auf R abbilde. (?)
\quoteoff
Kannst du da nochmal drüber nachdenken? Intuitiv bedeutet nicht das gleiche wie spontan. Tipp: In $f\in W_X$ sind die Funktionswerte $f(x)$ für $x\in X$ auf $0$ festgelegt, die für $x\in\IR\setminus X$ sind "frei".
\quoteon
Mir ist auch noch nicht visuell klar, warum Abb(S,R) endlich dimensional ist.
\quoteoff
Aber nicht-visuell schon?
\quoteon
Dass e_s linear unabhängig ist, kann ich doch dann einfach annehmen? oder muss ich das auch zeigen?
\quoteoff
Du musst es zeigen. Annehmen bringt jedenfalls überhaupt nichts.
Was hat das ganze eigentlich mit Faktorräumen zu tun? Kommt das noch in einem weiteren Aufgabenteil?
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S3bi
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-03
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@ligning
Okay ja eher spontan gedacht. Neuer Versuch:
\
f \el W_x cases(0,\forall\ x \el\ X; f(v), \forall\ v \el\ \IR ohne X)
Wieso beschränkt man sich hier überhaupt auf R ohne X?
Hat die Abb(S,R) dann |S| Basisvektoren? Aber tut mir leid, leider nicht klar, warum das endlich dimensional ist dann.
Und das R\X finde ich immer noch verwirrend.
Faktorräume kommen bei den Teilaufgaben danach. Die beinhalten dann die Frage nach dem Isomorphismus zwischen V/W_X und Abb(X,R) als R Vektorraum und V/W_X endlich dimensional, wenn X endlich dimensional ist. Aber ich denke mein Scheitern an den folgenden Aufgaben, basiert auf dem Scheitern an der Aufgabe. 😖
Beschäftige mich schon Großteil der "Ferien" mit LA, weils da anscheinend noch ein paar Defizite gibt 🤔 Deshalb studiere ich Physik 😂😂
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ligning
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| Beitrag No.7, eingetragen 2021-01-04
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\quoteon(2021-01-03 21:45 - S3bi in Beitrag No. 6)
@ligning
Okay ja eher spontan gedacht. Neuer Versuch:
\
f \el W_x cases(0,\forall\ x \el\ X; f(v), \forall\ v \el\ \IR ohne X)
\quoteoff
Was bedeutet das und für was genau ist das ein Versuch? Ich dachte wir waren bei dem Isomorphismus zwischen $W_X$ und $\mathrm{Abb}(\IR\setminus X, \IR)$. Was du da hingeschrieben hast sieht aus, also wolltest du meinen Tipp für die Form von Elementen von $W_X$ nochmal wiederholen. Das scheint uns nicht weiterzubringen.
\quoteon
Hat die Abb(S,R) dann |S| Basisvektoren?
\quoteoff
Ja, wenn $S$ endlich ist. Dazu hat Triceratops schon etwas geschrieben.
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S3bi
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|  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-06
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Also, wenn WX als Vektorraum zu Abb(R∖X,R) isomorph ist, dann verstehe ich das mit der endlichen Basis und andersherum, aber wie bekomme ich den den Isomorphismus? Die Definition davon ist klar, aber mir fehlt der Ansatz? hat das schon was mit dem Homomorphiesatz zu tun?
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ligning
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| Beitrag No.9, eingetragen 2021-01-06
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Nein, das hat nichts mit dem Homomorphiesatz zu tun.
Überleg dir die Beziehung zwischen $W_X$ und $\mathrm{Abb}(\IR\setminus X,\IR)$ mal an einem einfachen Beispiel, z.B. mit $X = \IR\setminus\{0\}$.
Also $W_X = \{ f:\IR\to\IR \mid f(x) = 0\text{ falls }x\neq 0\}$,
$\mathrm{Abb}(\IR\setminus X, \IR) = \mathrm{Abb}(\{0\}, \IR) = \{ f: \{0\}\to \IR \}$.
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S3bi
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-06
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Das Beispiel ist auf jeden Fall hilfreich. Hatten schon vorhin in unserer Gruppe überlegt, dass dann quasi X unendlich viele Elemente haben muss, damit R\X endlich sein kann.
W_X deckt doch beide Fälle ab: einmal alle x element X
auf 0 und R\X auf alles ohne 0. Wenn ich das richtig verstehe gelten also beide Definitionen parallel.
W_x ist auch ein Vektorraum also kann ich definieren:
\
k: W_x -> Abb(\IR | X,\IR)
k: f -> l
zu zeigen: im(k)=Abb(\IR | X,\IR)
zu zeigen: ker(f)=0 bzw. f^{-1}({0})=0 \el\ W_x oder halt neutrales Element der Addition.
Muss ich dann erst eine Basis definieren?
Alternativ hatten wir auch die Definition: Zwei endlich Dimensionale Vektorräume sind genau dann isomorph, wenn ihre Dimensionen übereinstimmen. Insbesondere sind alle isomorph zu K^n n \(\el\) N mit Null
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ligning
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| Beitrag No.11, eingetragen 2021-01-06
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\quoteon(2021-01-06 21:41 - S3bi in Beitrag No. 10)
Das Beispiel ist auf jeden Fall hilfreich. Hatten schon vorhin in unserer Gruppe überlegt, dass dann quasi X unendlich viele Elemente haben muss, damit R\X endlich sein kann.
\quoteoff
Ja, das stimmt.
\quoteon
W_x ist auch ein Vektorraum also kann ich definieren:
\
k: W_x -> Abb(\IR \\ X,\IR)
k: f -> l
zu zeigen: im(k)=Abb(\IR \\ X,\IR)
zu zeigen: ker(f)=0 bzw. f^(-1)({0})=0 \el\ W_x oder halt neutrales Element der Addition.
Muss ich dann erst eine Basis definieren?
\quoteoff
Ich verstehe die Abbildungsvorschrift nicht. Was meinst du mit $l$?
Anstatt über Kern und Bild Injektivität und Surjektivität zu zeigen ist es oft auch eine sinnvolle Beweisalternative, eine Umkehrabbildung anzugeben.
\quoteon
Alternativ hatten wir auch die Definition: Zwei endlich Dimensionale Vektorräume sind genau dann isomorph, wenn ihre Dimensionen übereinstimmen. Insbesondere sind alle isomorph zu K^n n \(\el\) N mit Null
\quoteoff
Das kann man auch machen, aber das ist eigentlich sogar aufwändiger, jedenfalls wenn man einen konkreten Isomorphismus und nicht nur die Relation "isomorph" bestimmen möchte. Übrigens gilt die Aussage für Vektorräume beliebiger Dimension.
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S3bi hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
S3bi hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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