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Gewöhnliche DGL » Lineare DGL 2. Ordnung » Integral als Lösung von gewissen Anfangswerten
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Universität/Hochschule Integral als Lösung von gewissen Anfangswerten
Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-04


Hallo,
folgende Aufgabenstellung:

Sorry für die schlechte Qualität.
Das Problem bei dieser Aufgabe ist, dass ich so wenig Ahnung habe, dass ich nicht mal weiß ich in welche Kategorie ich diesen Thread geben soll.
Ich habe es jetzt mal einfach bei Differentialgleichungen probiert, bin mir aber nicht sicher, ob das stimmt. Mir kommen aber diese Anfangswertaufgaben eben noch von der Schule zu DGL bekannt vor, daher die Vermutung, dass es sich hierbei um eine DGL-Aufgabe handelt.
Andererseits kann es sich auch um ein Parameterintegral handeln, sicher bin ich mir da nicht?

Könnt ihr mir bitte erstmal darüber Bescheid geben?

Liebe Grüße
Spedex



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-04


Hey Spedex,

die Kategorie passt schon.
Wie lautet denn deine eigentliche Frage zu der Aufgabe?



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Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-04


Ok.

Nun ich hatte keine Ahnung was ich machen soll, jetzt merke ich aber, dass die DGL gar nicht das $$x(t)=\int_{0}^{t}{\sin(t-s)h(s)\,ds}+\cos(t)$$ ist, sondern, $$\ddot x+x=h$$


Nun muss ich mich erstmal in die Materie einarbeiten, habe von DGL bis auf Schulwissen keine Ahnung. Wollte davor fragen, um was es überhaupt geht, damit ich weiß, in was ich mich einarbeiten soll. Das ist ja jetzt bereits geschehen.

Liebe Grüße
Spedex



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-04


Du musst hier "nur" die Funktion \(x\) zweimal nach \(t\) ableiten und dann unten einsetzen und feststellen, dass die Gleichung erfüllt ist.



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Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-04


Ok, das hat dann weniger mit DGL zu tun als ich dachte.
In meinem Skriptum steht im Kapitel Parameterintegrale folgendes:
$$F'(y)=\int_{a}^{b}{\frac{\partial}{\partial y}f(x,y)\,dx}$$ Wenn ich das jetzt hier anwende komme ich auf:
$$x'(t)=\int_{0}^{t}{\frac{\partial}{\partial t}\sin(t-s)h(s)\,ds}+\frac{\partial}{\partial t}\cos(t)=\int_{0}^{t}{\cos(t-s)h(s)\,ds}-\sin(t)$$ Und:
$$x''(t)=\int_{0}^{t}{\frac{\partial}{\partial t}\cos(t-s)h(s)\,ds}-\frac{\partial}{\partial t}\sin(t)=-\int_{0}^{t}{\sin(t-s)h(s)\,ds}-\cos(t)$$ Das würde zwar für $x(0)=1$ und $\dot x(0)=0$ passen, jedoch nicht für $\ddot x+x=h$, denn bei mir ist $\ddot x+x=0$.
Habe ich was wo vergessen?

Liebe Grüße
Spedex



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-01-04


Ja, du hast was vergessen, nämlich die Tatsache, dass die Integralgrenzen auch von \(t\) abhängen. Du musst also die (mehrdimensionale) Kettenregel anwenden



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Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-04


Hallo,
in meinem Skriptum finde ich zu "Kettenregel für Funktionen in zwei Variablen" folgendes:
$$g'(t)=\frac{d}{dt}f(x(t),y(t))=f_x(x(t),y(t))\cdot x'(t)+f_y(x(t),y(t))\cdot y'(t)$$ Ist das das, was ich hier brauche?
Falls ja, wüsste ich nicht wieso ich nach beiden Variablen partiell ableiten soll und das dann addieren? Ich möchte ja nur nach $t$ ableiten in meinem Fall, nicht?

Liebe Grüße
Spedex



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2021-01-04


Ja, diese Regel brauchst du.

In der Kettenregel aus deinem Skript wird ja auch von der Funktion \(g\) nur nach \(t\) abgeleitet, ist allerdings von der Form \(g(t)= f(x(t),y(t))\).

Dein \(x(t)\) aus der Aufgabe ist hier nun das \(g(t)\). Du kannst nun etwa \(f(u,v)= \int_0^u \sin(v-s)h(s) \, ds\) sowie \(u(t)=v(t)=t\) setzen.

Dann ist \(x(t)= f(u(t), v(t))\) und du kannst die Kettenregel anwenden.



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Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-04


Also ich kenn mich gar nicht mehr aus.

Ich setzte also anstelle von $f(x(t),y(t))$ einfach $f(t,t)$, wenn ich das richtig verstehe.
Und dann wende ich die Regel an.
Da kommt man ja dann auf:
$$x(t)=f(u,v)=\int_{0}^{u}{\sin(u-s)h(s)\,ds}+\cos(v)$$ Und dann mit der Regel angewandt:
$$x'(t)=\int_{0}^{u}\left({\frac{\partial}{\partial u}\sin(v-s)h(s)\,ds}+\frac{\partial}{\partial u}\cos(v)\right)\cdot u'(t)+\int_{0}^{u}\left({\frac{\partial}{\partial v}\sin(v-s)h(s)\,ds}+\frac{\partial}{\partial v}\cos(v)\right)\cdot v'(t)$$ Oder irgendwie sowas?
Das kann doch nicht passen.

Liebe Grüße
Spedex



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2021-01-04


Beim ersten Term darfst du das \(\frac{\partial}{\partial u}\) nicht ins Integral ziehen. Das einzige dort vorkommende \(u\) steht doch in den Integralgrenzen. Wie so etwas abzuleiten ist, liefert dir doch der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.

Danach musst du nur noch alles in die Formel einsetzen (bzw. für \(u\) und \(v\) die Variable \(t\) einsetzen).
 
Kleiner Hinweis:
Es ist nicht \(x(t)=f(u,v)\), sondern \(x(t)=f(u(t), v(t))\). Das ist ein kleiner, aber wichtiger Unterschied



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Ok, danke.
Jetzt habe ich nochmal lange herumprobiert und bin froh, dass ich nun draufgekommen bin.
$$x'(t)=\left(\frac{\partial}{\partial u}\int_{0}^{u}{\sin(v-s)h(s)\,ds}+\cos(v)\right)\cdot u'(t)+\left(\int_{0}^{u}{\frac{\partial}{\partial v}\sin(v-s)h(s)\,ds}+\frac{\partial}{\partial v}\cos(v)\right)\cdot v'(t)$$ Wobei $u'(t)=1$ und $v'(t)=1$.
Somit:
$$x'(t)=\frac{\partial}{\partial u}\int_{0}^{u}{\sin(v-s)h(s)\,ds}+\cos(v)+\int_{0}^{u}{\frac{\partial}{\partial v}\sin(v-s)h(s)\,ds}+\frac{\partial}{\partial v}\cos(v)$$ Für $\displaystyle\frac{\partial}{\partial u}\int_{0}^{u}{f(x)\,dx}$ gilt $=f(u)$.
Somit ist:
$$\frac{\partial}{\partial u}\int_{0}^{u}{\sin(v-s)h(s)\,ds}+\cos(v)=\sin(v-u)h(u)=0\cdot h(u)=0$$ Also ist:
$$x'(t)=\int_{0}^{u}{\frac{\partial}{\partial v}\sin(v-s)h(s)\,ds}+\frac{\partial}{\partial v}\cos(v)=\int_{0}^{u}{\cos(v-s)h(s)\,ds}-\sin(v)$$ Das gleiche mache ich nun bei $x''(t)$, jedoch fällt hier der erste Terme nicht weg, denn anstelle von $\sin(0)\cdot h(s)$ hat man hier $\cos(0)\cdot h(s)=h(s)$. Und genau dieses $h(s)$ bzw. $h$ bringt einem dann auf die Lösung $\ddot x+x=h$.
Das Problem lässt sich übrigens deutlich einfacher lösen, wenn man auch eine Zeile tiefer ins Skriptum schaut, was ich leider nicht gemacht habe.
Dort steht nämlich:
$$G'(y)=\int_{\alpha(y)}^{\beta(y)}{\frac{\partial}{\partial y}f(x,y)\,dx}+f(\beta(y),y)\beta'(y)-f(\alpha(y),y)\alpha'(y)$$ Und wenn man das anwendet, kommt man sehr einfach drauf.

Liebe Grüße und vielen Dank!
Spedex



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