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Analysis » Maßtheorie » Maß einer verzerrten Menge
Autor
Universität/Hochschule J Maß einer verzerrten Menge
viganme
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  Themenstart: 2021-01-06

Hallo, ich habe folgende Aufgabe: Es seien $a_0,\dots ,a_n\in\mathbb{R}^n$. Man zeige, dass das Lebesgue-Maß der Menge \[ S=conv(\{a_0,\dots ,a_n\})=\{\lambda_0 a_0+\dots +\lambda_n a_n\mid \lambda_k\geq 0,\sum \lambda_k =1\}\] durch \[ \lambda(S)=\frac{1}{n!}|det([a_1-a_0,\dots ,a_n-a_0])|\] gegeben ist. Mein try war jetzt, sich das n-dimensionale Simplex anzuschauen. Also sei \[S_n=\{x\in [0,1]^n\mid \sum_{i=1}^{n}x_i\leq 1\}\] Definiere nun \[\Phi :\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n,x\mapsto Ax\] wobei $A=[a_1-a_0,\dots ,a_n-a_0]\in\mathbb{R}^{n,n}$ ist. Jetzt wäre es schön, wenn $\Phi(S_n)=S$ gilt. Falls das gilt, dann gilt die Behauptung mit dem Trafosatz (unter der Vor. das A invertierter ist, dass können wir, dank dem Lemma von Sard aber annehmen). Ich habe versucht es irgendwie auszurechnen, aber es kommt leider nur Mist dabei raus. Falls das gilt, würde ich mich freuen, wenn mir jemand sagt, wie man das am besten Zeigen kann und falls nicht, lässt sich mein Vorgehen irgendwie verändern sodass es stimmt? Liebe Grüße Vigan

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Triceratops
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-06

Tipp: Wähle $\Phi$ nicht linear, sondern affin-linear.

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viganme
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-06

\quoteon(2021-01-06 02:25 - Triceratops in Beitrag No. 1) Tipp: Wähle $\Phi$ nicht linear, sondern affin-linear. \quoteoff Danke für deine Antwort, durch $+a_0$ komme ich tatsächlich zur Lösung :)

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viganme hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
viganme hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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