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  Vektorraum, lineare Abhängigkeit, Dimension |
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Thomas224
Junior 
Dabei seit: 13.12.2020
Mitteilungen: 12
 |  Themenstart: 2021-01-09
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Guten Abend!
Ich bräuchte noch etwas Hilfe bei einer Matheaufgabe, ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
V sei ein C-Vektorraum mit Basis v1,v2,...,vn.
Dann ist V auch ein R-Vektorraum durch Einschränkung der Skalarmultiplikation auf reelle Zahlen.
Wir bezeichnen diesen R-Vektorraum als W.
(a) System v1,v2,...,vn auch in W linear unabhängig?
(b) Was ist die Dimension von W?
(c) Kannst du eine Basis für W angeben?
Nun soll Ich die obigen Fragen am Beispiel von V=C2 mit der kanonischen Basis v1=(1,0),v2=(0,1) diskutieren.
Ich bin ratlos, wie ich dies ganz ohne Beispiele lösen soll, also allgemein.
Vielen Dank im Voraus!
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 Profil
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janewill
Junior 
Dabei seit: 05.01.2021
Mitteilungen: 16
| Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-09
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Zunächst betrachten wir den Fall $V=\IC$. Die komplexe Zahlen können mit dem $\IR^2$ identifiziert werden. Als $\IR$-Vektorraum hat $\IC$ z.B. die Basis $0,i$, da eine komplexe Zahl $a+ib$ genau dann null ist, wenn $a=b=0$ gilt. Ganz ähnlich erhält man $\IC^2\cong \IR^4$, wobei dann $(1,0),(i,0),(0,1),(0,i)$ eine $\IR$-Basis des $\IC^2$ ist.
Der allgemeine Fall: Sei nun $b_1,\ldots,b_n$ eine $\IC$-Basis von V.
Behauptung: Dann ist $b_1,i\cdot b_1,\ldots,b_n,i\cdot b_n$ eine $\IR$-Basis von W. $i\cdot b_k$ ist einfach die Skalarmultiplikation in $V$ als $\IC$-Vektorraum.
Beweis: Für ein $v\in V$ gibt es Skalare $z_k=x_k+i\cdot y_k;\ x_k,y_k\in\IR$, so dass $v=z_1\cdot b_1+\cdots +z_n\cdot b_n$. Ausmultiplizieren (in V) ergibt $v=x_1\cdot b_1 + y_1\cdot ib_1+\cdots +x_n\cdot b_n + y_n\cdot ib_n$. Daher läßt jedes $v\in W$ als geeignete Linearkombination darstellen. Wenn wir mit $0=x_1\cdot b_1 + y_1\cdot ib_1+\cdots +x_n\cdot b_n + y_n\cdot ib_n$ starten, erhalten wir $0z_1\cdot b_1+\cdots +z_n\cdot b_n$. Da die $b_k$ eine $\IC$-Basis sind folgt daraus $z_k=0\ \forall k$ und entsprechend für die $x_k,y_k$. Also sind die Vektor $b_1,i\cdot b_1,\ldots,b_n,i\cdot b_n$ linear unabhängig und damit eine Basis. q.e.d.
Daraus folgt auch direkt $\dim_\IR W = 2 \dim_\IC V$ und natürlich dass die $b_1,\ldots, b_n$ in dem $\IR$-Vektorraum als Teil einer Basis linear unabhängig sind.
(Die $b_k$ entsprechen den $v_k$ aus dem Themenstart.)
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Thomas224
Junior
Dabei seit: 13.12.2020
Mitteilungen: 12
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-09
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Ich kann nicht mehr tun als mich zu bedanken.. Danke Danke Danke 👍👍🙏🏼😍😍
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Thomas224 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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