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Kein bestimmter Bereich ** Berührende Kreise
MartinN
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-10


Mit sich berührenden Kreisen beschäftigt man sich ja gerade, daher hab ich darüber auch etwas gegrübelt und eine spannende Zahl gefunden xD

Wenn ich "berührend" meine, dann meine ich "von außen berührend", d.h. 2 oder mehr Kreise berühren sich und jeder Mittelpunkt eines Kreises liegt außerhalb der anderen Kreise.

Nun zur Aufgabe: Gegeben seien 3 sich berührende Kreise \(k_0,k_1,k_2\) mit Radien \(r_0,r_1,r_2 > 0\) und Mittelpunkte \(M_0,M_1,M_2\).
Nun konstruiert man den nächsten Kreis \(k_{n+1}\) so, dass er \(k_0\), \(k_{n-1}\) und \(k_n\) berührt.
Der Winkel \(w_n; n > 1\) sei nun: \(w_n = \vert \angle (M_{n} M_0 M_{n-1}) \vert\)

Bestimme:
\(\lim\limits_{n \to \infty} \frac{w_{n+1}}{w_n}\)


Ich kam darauf, weil ich \(\sum_{n=2}^{\infty} (-1)^n w_n\) gesucht hatte (bzw eine Näherung dafür) - also zu welchen Punkt man auf den Kreis \(k_0\) dadurch gelangt xD
Und dachte, wenn \(r_0 = r_1 = r_2\), dass man dann bei 40° landet (also 2/3 von \(w_2\))- aber doch nicht xD



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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-11


Hallo Martin,

es ist (für mich, vielleicht stehe ich aber auch nur auf dem Schlauch) erst einmal schwierig, überhaupt eine funktionierende Anordnung für die ersten Kreise zu finden - vielleicht starten wir, indem du oder jemand aus der Schar der Rätselnden erst einmal eine Skizze postet, wie das für die ersten Werte von n überhaupt aussehen könnte?

Grüße
Gerhard/Gonz


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VOX CLAMANTIS IN DESERTO (retired)



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MartinN
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-11


Wenn ich zu Hause bin, kann ich ein Bild schicken. Hab gerade eine Skizze gemalt, aber das Foto mit dem Handy ist zu groß xD



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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-12


Ha - es geht natürlich, wenn man den jeweils n+1. Kreis _innen_ anordnet. Ich hatte einfach falsch herum angefangen. Bleibt also - zu knobeln :)


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VOX CLAMANTIS IN DESERTO (retired)



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MartinN
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-12


Wenn der n+1.-Kreis andere umschließt, dann liegen doch deren Mittelpunkte in diesen n+1.-Kreis - das widerspricht ja meiner angegebenen Definition von "berühren" xD

Aber ihr wolltet wissen, wie ich so zeichne und skizziere... die Winkel w_i sind hier als Bogen auf k_0 zwischen den betreffenden Berührungspunkten eingezeichnet. Und natürlich kann ich perfekt Kreise und sich berührende Kreise zeichnen - nicht ;)


EDIT: Rechts von k_4 ist natürlich k_2 und nicht noch ein k_3 ^^

Ich denke das Prinzip kann man erkennen - viel Spaß beim rätseln und rechnen ^^



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Animus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-01-12


Schöne Frage!
Nach ein paar grob vereinfachenden Annahmen biete ich


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]


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– Bertrand Russel



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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2021-01-13


Ich wäre bei der Lösung von Animus (muss das aber nochmal genauer ausarbeiten, Irrtum ist noch vorbehalten)

Für die ersten 1,2 Schritte kann man auch Kreise außen konstruieren, die nicht mit den Anfangskreisen kollidieren, indem man die ersten drei Kreise entsprechend mit unterschiedlicher Größe passend anordnet. Nur kann man die dann entstehende Kette nicht beliebig weiterführen. ( das war also einmal falsch abgebogen sozusagen).

Die Aufgabe ist wirklich schön :)




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Goswin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2021-01-13


2021-01-12 17:01 - gonz in Beitrag No. 3 schreibt:
Ha - es geht natürlich, wenn man den jeweils n+1. Kreis _innen_ anordnet. Ich hatte einfach falsch herum angefangen. Bleibt also - zu knobeln :)

 @gonz:                         :
2021-01-10 17:43 - MartinN im Themenstart schreibt:
Wenn ich "berührend" meine, dann meine ich "von außen berührend", d.h. 2 oder mehr Kreise berühren sich und jeder Mittelpunkt eines Kreises liegt außerhalb der anderen Kreise.



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/Kyristo meu kimgei kom nhi cumgen ta Gendmogen. (Kol.2:9)



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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2021-01-13


Ich hatte in dieser Richtung gedacht:



Da wir aber ja von Grenzwerten reden ist es natürlich egal, wie herum man anfängt. Gehen tut es für den ersten Schritt von 0-2 auf 3 schon. Nur es führt dann nicht weiter (bzw. man muss dann eben mit Innenkreisen weitermachen).

Dass ich damit Probleme hatte lag wohl nur daran, dass ich schon etwas schlaftrunken war, als ich mit der Aufgabe angefangen habe :)

Grüße
Gerhard/Gonz


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VOX CLAMANTIS IN DESERTO (retired)



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MartinN
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-13


Huhu...
Zu dem Lösungsvorschlag -

Ich vermute, dass mit phi der goldene Schnitt gemeint ist. Was soll x sein?
Bzw meine Lösung ist auch kein ganzzahliges Vielfaches / Potenz von phi.

Wie wäre eurer Lösungsweg?




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Animus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2021-01-13


2021-01-13 18:11 - MartinN in Beitrag No. 9 schreibt:
Huhu...
Zu dem Lösungsvorschlag -
Numerisch komme ich auf etwa

Kann mich natürlich auch verrechnet haben. 🤔





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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2021-01-13


MartinN, schöne Aufgabe!

\(k_4\) erhält man wie bei meinem Link*** Dritter von drei weihnachtlichen "Kreisgeistern"
über den Satz von Descartes - "innen" oder "außen"...
Wenn man dann mit dem "inneren" weiterrechnet, ergeben sich die \(k_{n+1}\)
durch schrittweise Bemühung des gleichen Satzes für veränderte Radien...

Ich "kämpfe" noch mit einer zufriedenstellenden Einzeldarstellung...


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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2021-01-14


Kleine Modellierungsbastelei mit EXCEL...

Egal, wie man \(r_0\), \(r_1\) und \(r_2\) wählt,
konvergiert der Quotient \(\frac{r_{n+1}}{r_{n+2}}\) flugs gegen \(\Phi^2=1+\Phi\)!

\(\Phi\: =\:\frac{1\, +\,\sqrt{5}}{2}\: =\:1,61803398875\)
\(1\: +\:\Phi\: =\:\Phi^2\: =\:2,61803398875\)
\(\frac{1}{1\, +\,\Phi}\: =\:\frac{1}{\Phi^2}\: =\:\ (\Phi\, -\,1)^2\: =\:0,38196601125\)

Hinten raus verrundet sich EXCEL natürlich wieder...


... und beim Winkelverhältnis sogar recht räudig! 😡


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MartinN
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-14


Zu der Tabelle:

Ich selbst hatte da nen Fehler bei meiner Tabelle, der aber unerheblich war.

Aber ja, \(\phi + 1\) ist das Verhältnis der Radien im Grenzwert ;) - gibt sogar noch eine bessere Näherung um den nächsten Radius zu bestimmen.
\(\phi^x\) fand ich aber verwirrend von Animus xD

Jetzt noch das Verhältnis der Winkel ^^

Edit: upps... \(\phi+1 = \phi^2\) *aua*
Ich hatte bei meiner Lösung dafür gar nicht an phi gedacht, dann erst gesehen, dass es sich um 1 von phi unterscheidet xD Aber das dann ja auch das Quadrat bei der besonderen Zahl ^^



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MartinN
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-17


Von cramilu wurde das Verhältnis der Winkel ja schon angedeutet, also kommen wir mal zur Lösung ;)


Was bisher ja schon diskutiert wurde...
Statt der Radien betrachtet man die inversen Radien:
\(k_n = \frac{1}{r_n}\)

oBdA sei \(r_0 = 1\) - ansonsten kann man die gesamte Figur mit \(\frac{1}{r_0}\) strecken und die Bedingung ist gegeben.

Dann gilt gemäß der Konstruktion für den nachfolgenden inversen Radius (Satz von Descartes, wobei die inversen Radien immer größer werden):
\(k_{n+2} = 1 + k_{n} + k_{n+1} + 2 \cdot \sqrt{k_{n} + k_{n+1} + k_{n} k_{n+1}} > k_{i \leq n+1}\)

Damit auch: \(\lim\limits_{n \to \infty} k_{n} = \infty\)
...und wie gewünscht werden die Radien immer kleiner.


Approximieren wir \(k_{n} = x; k_{n+1} = f(x); k_{n+2} = f(f(x))\)
\((f(f(x)) - f(x) - x - 1)^2 = 4 \cdot (x + f(x) + xf(x))\)

Habe \(f(x)\) den Grad \(g \geq 1\), so hat die linke Seite den maximalen Grad \(2g^2\) von \((f(f(x))^2\) und die rechte Seite den maximalen Grad \(g+1\) von \(xf(x)\).
Damit beide Seiten vergleichbar sind, sei: \(2g^2 = g+1 \to (g-1)(2g+1) = 0 \to g = 1\).

Habe \(f(x)\) den Grad \(0 \leq g \leq 1\), so hat die linke Seite den maximalen Grad \(2\) von \(x^2\) und die rechte Seite den maximalen Grad \(g+1\) von \(xf(x)\).
Damit beide Seiten vergleichbar sind, sei: \(2 = g+1 \to g = 1\).

Habe \(f(x)\) den Grad \(g \leq 0\), so hat die linke Seite den maximalen Grad \(2\) von \(x^2\) und die rechte Seite den maximalen Grad \(1\) von \(x\).
Damit wären beide Seiten nie vergleichbar.

In allen Fällen bietet sich somit nur eine lineare Funktion \(f(x) = ax+b\) an:
\((f(f(x)) - f(x) - x - 1)^2 = ((a^2-a-1)x + ab - 1)^2\\
= (a^2-a-1)^2x^2 - 2(a^2-a-1)(ab-1)x + (ab-1)^2\)

\(4(x + f(x) + xf(x)) = 4ax^2 + 4(a+b+1)x + 4b\)

Dabei sei \(f(x) > x \forall x > 0\) - damit die Radien wirklich immer kleiner werden.


Koeffizientenvergleich liefert nun für die größten Exponenten von x:
\((a^2-a-1)^2 = 4a\\
a^4 - 2a^3 - a^2 - 2a + 1 = 0\\
(a^2 - 3a + 1)(a^2 + a + 1) = 0\)

Der hintere Faktor liefert dabei kein reelles a, somit:
\(a^2 - 3a + 1 = 0\\
\to a = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}\)

Weiterhin für den nächsten Koeffizienten:
\(2(a^2-a-1)(ab-1) = 4(a+b+1)\\
(a^3-a^2-a-2)b = a^2+a+1\\
(a-2)(a^2+a+1)b = a^2+a+1\)

Da \(a^2 = 3a-1\) ist: \(a^2+a+1 = 4a \neq 0\)
Somit:
\(b = \frac{1}{a-2} = \frac{a-1}{(a-2)(a-1)} = \frac{a-1}{(a^2-3a+1)+1} = \frac{a-1}{1}\)

Wir erhalten somit die Approximation:
\(f(x) = ax + a - 1 > x \to (a-1)(x+1) > 0 \to a > 1\)

Damit ist die einzige Lösung mit \(a > 1\):
\(a = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} = \phi + 1 = \phi^2\)

Und:
\(f(x) = ax + a - 1 = \phi^2 x + \phi\)

Der konstante Koeffizient beim Koeffizienten-Vergleich wird dabei mit größerwerdenden inversen Radien (x) immer vernachlässigbarer - und diese lineare Funktion approximiert immer besser den nächsten inversen Radius.


Damit lässt sich der nachfolgende inverse Radius immer aus den zuvorherigen annähern, und je größer diese werden (für \(n \to \infty\)) um so besser wird die Annäherung:
\(k_{n+1} \approx f(k_n) = ak_n + a - 1 = \phi^2 k_n + \phi\)


Kommen wir nun zu den Winkeln:

Gemäß dem Cosinus-Satz gilt:
\(\cos(w_n) = \frac{\left( 1+\frac{1}{k_{n-1}} \right)^2 + \left( 1+\frac{1}{k_{n}} \right)^2 - \left( \frac{1}{k_{n-1}}+\frac{1}{k_{n}} \right)^2}{2 \left( 1+\frac{1}{k_{n-1}} \right) \left( 1+\frac{1}{k_{n}} \right)} = \frac{k_{n-1}k_{n} + k_{n-1} + k_n - 1}{k_{n-1}k_{n} + k_{n-1} + k_n + 1} = 1 - 2 \cdot \frac{1}{k_{n-1}k_{n} + k_{n-1} + k_n + 1}\)

Für \(n \to \infty\) werden die inversen Radien immer größer und \(\cos(w_n)\) nähert sich immer mehr dem Wert 1 an, somit kann für:
\(w_n = \arccos(1 - x) \approx \sqrt{2x} + \mathcal{O} (\sqrt{x^3})\)
die angegeben Approximation für \(x \to 0\) verwendet werden. Für größerwerdende inverse Radien (und damit kleinere x) wird diese Annäherung immer besser.

Somit:
\(w_n \approx 2 \cdot \sqrt{\frac{1}{k_{n-1}k_{n} + k_{n-1} + k_n + 1}}\)


Nun die obige Approximation für \(k_{n}\) einsetzen:
\(\approx 2 \cdot \sqrt{\frac{1}{k_{n-1}(a k_{n-1} + a - 1) + k_{n-1} + (a k_{n-1} + a - 1) + 1}} = 2 \cdot \sqrt{\frac{1}{a (k_{n-1} + 1)^2}}\\
= \frac{2}{\sqrt{a} \cdot (k_{n-1} + 1)}\)


Entsprechend gilt für das nachfolgende n (bei größerwerdenden n):
\(w_{n+1} \approx \frac{2}{\sqrt{a} \cdot (k_{n} + 1)} \approx \frac{2}{\sqrt{a} \cdot (ak_{n-1} + a)} \approx \frac{1}{a} \frac{2}{\sqrt{a} \cdot (k_{n-1} + 1)} \approx \frac{w_n}{a}\\
\to \frac{w_{n+1}}{w_n} \approx \frac{1}{a}\)


Alle vorgenommenen Approximationen (lineare Funktion für den nachfolgenden inversen Radius und arccos(1-x)) gelten dabei für \(n \to \infty\), somit auch:
\(\lim\limits_{n \to \infty} \frac{w_{n+1}}{w_n} = \frac{1}{a} = \frac{1}{\phi+1} = \frac{(2-\phi)}{(\phi+1)(2-\phi)} = \frac{2-\phi}{-\phi^2+\phi+2} = \frac{2-\phi}{1} = \frac{3-\sqrt{5}}{2}\)


Somit ist des gesuchte Verhältnis der Winkel:
\(\lim\limits_{n \to \infty} \frac{w_{n+1}}{w_n} = \frac{1}{a} = 2-\phi = \frac{3-\sqrt{5}}{2}\)






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