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Analysis » Komplexe Zahlen » Cayley-Transformation und Kreis
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Universität/Hochschule Cayley-Transformation und Kreis
Math_user
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  Themenstart: 2021-01-11

Guten Abend Sei $y \in \Bbb R \setminus \{-1\}$ und $K:=\{t+iy \;\vert\; t \in \Bbb R\}$. Wir betrachten die Cayle Transformation $$f(z)=\frac{z-i}{z+i}$$ Ich möchte zeigen, dass $f(K)$ ein Kreis ist. Aber ich scheitere nur schon im Ansatz.. Wie kann man dies am besten zeigen? Vielen Dank für eure Hilfe und einen guten Abend Math_user

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Vercassivelaunos
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-11

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \newcommand{\H}{\mathbb{H}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\grad}{\operatorname{grad}} \newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert} \newcommand{\Abb}{\operatorname{Abb}}\) Hallo Math_User, die Cayleytransformation ist eine Möbiustransformation, und Möbiustransformationen erhalten verallgemeinerte Kreise, heißt: Geraden und Kreise werden auf Geraden und Kreise abgebildet. $K$ ist eine Gerade, wird also auf eine Gerade oder einen Kreis abgebildet. Wähle nun drei beliebige Punkte auf $f(K)$. Liegen sie auf einer Linie, so muss es sich um eine Gerade handeln, denn Kreise enthalten keine drei kolinearen Punkte. Sind sie nicht auf einer Linie, so muss es sich um einen Kreis handeln, denn die Punkte einer Geraden sind natürlich alle kolinear. Viele Grüße Vercassivelaunos\(\endgroup\)

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Math_user
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-12

Guten Abend Vielen Dank für deine Antwort. Dies würde absolut Sinn machen, wenn wir wüssten was Möbiustransformation sind. Aber leider haben wir dies in der Theorie erst später angesehen....

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Vercassivelaunos
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-13

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \newcommand{\H}{\mathbb{H}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\grad}{\operatorname{grad}} \newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert} \newcommand{\Abb}{\operatorname{Abb}}\) Dann schreibe $\frac{z-\i}{z+\i}=1-\frac{2\i}{z+\i}$ und zeige, dass Translationen (Addition einer komplexen Zahl), Drehstreckungen (Multiplikation mit einer komplexen Zahl $\neq0$) und Inversionen ($\frac{1}{z}$) verallgemeinerte Kreise erhalten. Die Cayleytransformation tut das als Verkettung solcher Operationen ebenfalls.\(\endgroup\)

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