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 Anzahl der Elemente eines Körpers bestimmen |
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Bruce94
Aktiv 
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Mitteilungen: 836
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Hallo,
ich lerne gerade für eine Prüfung und versuche mich an dieser Aufgabe:
Sei \(f = X^3+ \overline{2}X+\overline{1} \in \mathbb{F}_3[X]\), \(I=(f)\) das von \(f\) erzeugte Hauptideal in \(\mathbb{F}_3[X]\) und \(K=\mathbb{F}_3[X]/I\).
a) Zeigen Sie, dass \(f\) irreduzibel ist.
b) Schließen Sie (ohne weitere Rechnungen), dass \(K\) ein Körper ist. Wieviele Elemente hat \(K\)?
c) Begründen Sie (ohne weitere Rechnungen), warum \(X^2+I\) invertierbar in \(K\) ist. Bestimmen Sie das Inverse von \(X^2+I\).
Zu a):
Da \(f\) in \(\mathbb{F}_3[X]\) keine Nullstelle besitzt, ist es irreduzibel.
Zu b):
Da \(\mathbb{F}_3\) ein Körper ist, ist \(\mathbb{F}_3[X]\) ein Hauptidealring. Da \(f\) außerdem irreduzibel ist, ist \(K\) ein Körper.
Bei der Anzahl der Elemente hänge ich. Es gilt: \(K=\{a+(f) \ \vert \ a \in \mathbb{F}_3[X]\}=\{a+f \cdot \mathbb{F}_3[X] \ \vert \ a \in \mathbb{F}_3[X]\}\)
Zu c):
Zur Invertierbarkeit hatten wir bisher noch nichts gemacht. Wir haben noch nicht den ganzen Stoff in der Vorlesung durch. Bisher haben wir die Grundlagen, Gruppen und Ringe betrachtet. Das letzte Kapitel „Körper“ kam noch nicht dran. Wohlmöglich fehlt mir auch gewisser Stoff.
Jedoch müsste ja auch insbesondere \(X^2\) invertierbar sein, d. h., es müsste ein \(g \in \mathbb{F}_3[X]/I \) geben, sodass \(\overline{1}=X^2 \cdot g \mod I\). Leider existiert ein solches \(g\) aber nicht. offenbar habe ich ein Verständnisproblem.
Ich bedanke mich schonmal für eure Antworten.
Liebe Grüße
Bruce
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ollie3
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Mitteilungen: 62
|      Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-13
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Hallo,
zu b) da man bei dem Quotientenring F3[X]/I sozusagen alle vielfachen
von I herausdividiert, bleiben dann alle Polynome aus F3[X] bis einschließlich 2.grades übrig, das wären dann 3^3=27.
zu c) In einem Körper muss jedes Element außer 0 invertierbar sein.
Und um das Inverse zu bestimmen, stell mal die entsprechende Gleichung
auf...
gruss ollie3
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Bruce94
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Mitteilungen: 836
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-13
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Hi,
danke für deine Antwort.
b) Macht Sinn.
c) Achja, richtig.
Sei \( \overline{1}=(X^2+I) \cdot g\) mit \(g \in \mathbb{F}_3[X]/I\).
Durch die b) weiß ich ja nun, dass \(g = aX^2+bX+c\) mit \(a,b,c \in \mathbb{F}_3\) gelten muss.
In \(\mathbb{F}_3[X]/I\) gilt \(X^2+I=X^2\), sodass ich durch ausmultiplizieren \(\overline{1}=aX^4+ \overline{2}bX^3+cX^2= \overline{2} \cdot b \cdot X^3+(c-\overline{2}a)X^2-a=\) erhalte.
Es muss also \(a=\overline{-1}=\overline{2}, \ b=\overline{0}, c=\overline{1}\) gelten, sodass mein \(g=\overline{2}X^2+\overline{1}\) ist, richtig?
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Bruce94
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-17
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Ich sitze gerade wieder an der Aufgabe und denke, dass meine vorherige Antwort falsch war. Wenn ich mein berechnetes $g$ einsetze, erhalte ich nicht $\overline{1}$.
Jedoch sehe ich nicht, wo mein Fehler liegt. Hat jemand eine Idee?
Vielleicht verstehe ich ja auch etwas falsch:
$\mathbb{F}_3[X]/I=\{g+I \ \vert \ g \in \mathbb{F}_3[X]\}=\{g+h \cdot f \ \vert \ g,h \in \mathbb{F}_3[X] \}$
Somit liegen $X^2$ und $X^2+I$ in der gleichen Äquivalenzklasse. Daher müsste es ja reichen, wenn ich mit $X^2$ arbeite.
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