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| Autor |
 Jedes System von Vektoren induziert eindeutige lineare Abbildung |
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Akin
Junior 
Dabei seit: 02.12.2020
Mitteilungen: 19
 |  Themenstart: 2021-01-15
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Hallo,
ich habe Probleme mit diesem Satz.
https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/53909_Planet.PNG
(Ich nehme an bei v(i) handelt es sich um eine Basis. Denn kurz davor wurde die Umkehrung angesprochen, dass wenn v(i) eine Basis ist, und f linear, so gibt es ein System w(i)=f(v(i)). Das ist mir klar.)
Die vorgegebene Funktion, die diese Eingenschaft erfüllt hat man sich doch einfach aus
v = a1v1+...+anvn
=> f(v) = f(a1v1+...+anvn) und mit Anwendung der Linearität
=> f(v) = a1*f(v1)+...an*f(vn) erzwungen. Man darf doch nicht die Existenz einer linearen Abbildung einfach so annehmen?
Und kann man die Eindeutigkeit der linearen Abbildung nicht auch so beweisen:
Sei f1, f2 linear und erfüllen f(v(i))=w(i)
f1(v) = f1(a1v1+...+anvn)= a1*f1(v1)+...an*f1(vn) = a1*w1+an*wn =
a1*f2(v1)+...an*f2(vn)=f2(a1v1+...+anvn)=f2(v)
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 Profil
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StefanVogel
Senior 
Dabei seit: 26.11.2005
Mitteilungen: 4288
Wohnort: Raun
| Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-16
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Hallo Akin,
\quoteon(2021-01-15 22:26 - Akin im Themenstart)
Die vorgegebene Funktion, die diese Eingenschaft erfüllt hat man sich doch einfach aus
v = a1v1+...+anvn
=> f(v) = f(a1v1+...+anvn) und mit Anwendung der Linearität
=> f(v) = a1*f(v1)+...an*f(vn) erzwungen. Man darf doch nicht die Existenz einer linearen Abbildung einfach so annehmen?
\quoteoff
nicht das ist die Definition von f(v), sondern f(v)=a1w1+...anwn, nachdem man vorher a1...an als Koordianten von v in der Basis v1...vn bestimmt hat. Eine solche Funktion f(v) existiert immer und sie hat die Eigenschaft f(vi)=wi und damit lässt sich die Linearität von f zeigen.
\quoteon
Und kann man die Eindeutigkeit der linearen Abbildung nicht auch so beweisen:
Sei f1, f2 linear und erfüllen f(v(i))=w(i)
f1(v) = f1(a1v1+...+anvn)= a1*f1(v1)+...an*f1(vn) = a1*w1+an*wn =
a1*f2(v1)+...an*f2(vn)=f2(a1v1+...+anvn)=f2(v)
\quoteoff
Ja, so geht das zu beweisen, und so steht das auch mit einem Zwischenschritt weniger im Beweis zu Satz 2.66. Indexschreibweise wie in der Vorlage geht mit html ai oder ai oder mit fedgeo oder Latex (siehe Eingabehilfen unter dem Eingabefenster).
Viele Grüße,
Stefan
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