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  Beweis Gruppe |
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rtu
Aktiv 
Dabei seit: 25.08.2020
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Guten Tag,
bei folgender Aufgabe finde ich nicht heraus, wie ich zeige, dass die Gruppe abgeschlossen ist.
Aufgabe:
Sei ⟨G, ⊕⟩ eine Gruppe. Für ein beliebiges a ∈ G sei ha : G → G definiert durch: ha(x) =df a ⊕ x.
(a) Zeigen Sie, dass H =df {ha | a ∈ G}
mit der üblichen Funktionskomposition, also ⟨H, ◦⟩, eine Gruppe ist.
Hinweis: Die Assoziativität der Funktionskomposition ◦ ist bekannt. Es ist daher die Abgeschlossenheit von T bezüglich ◦ zu untersuchen
Mein Verständnis der Aufgabe:
Für Abgeschlossenheit muss gelten: ∀ a, b ∈ H. a ⊕ b = c ∈ H.
Hier ist H die Menge der ha mit der Eigenschaft, dass a ∈ G ist. Also haben alle Elemente in H die Form a ⊕ x, da ja nichts weiter über ⊕ bekannt ist.
Nun ist zu zeigen, dass gilt: (a ⊕ x) ◦ (a ⊕ x) = (a ⊕ x)
Habe ich das richtig verstanden?
Für Hilfe vielen Dank vorab.
Viele Grüße
rtu
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tactac
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 |      Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-16
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]}
\newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner}
\newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
Die Elemente von H sind Funktionen $G \to G$.\(\endgroup\)
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rtu
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-16
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Ok, wäre dann folgendes eine korrekte Lösung?
Es muss gelten: ∀ ha, ha' ∈ H. ha ◦ ha' = ha'' ∈ H. Also:
ha ◦ ha' = ha(ha') = ha(a ⊕ x) = a ⊕ (a ⊕ x) = ha''
Wie kann ich denn sicher wissen, dass das Ergebnis in H liegt? Kann ich mir das so vorstellen?
Sei:
y = (a ⊕ x) ∈ H
also auch a ⊕ y ∈ H ?
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tactac
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| Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-16
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]}
\newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner}
\newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
$a\oplus x$ mit $a,x \in G$ ist nie in $H$, da $H$ eine Menge von Funktionen $G \to G$ ist.
Um zu zeigen, dass $H$ unter Komposition abgeschlossen ist, musst du zeigen, dass für alle $a,a' \in G$ ein $a'' \in G$ existiert mit $h_a \circ h_{a'} = h_{a''}.$
Dazu bietet es sich an, $(h_a \circ h_{a'})(x)$ für beliebiges $x$ auszurechnen und dann ein bisschen kreativ zu werden, um folgende Gleichungskette zu vervollständigen: $$\begin{array}{rcll}
(h_a \circ h_{a'})(x) &=& h_a(h_{a'}(x)) & \text{Def. }\circ
\\&=& h_a(a' \oplus x) & \text {Def. }h_{a'}
\\&=& ...
\\&=& h_{??}(x) & \text {Def. }h_{??} & \square
\end{array}$$\(\endgroup\)
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rtu
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-16
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Hi tactac,
kann man das so machen? Oder ist das zu kreativ?
(ha∘ha′)(x) = ha(ha′(x)) | Def ∘
= ha(a′⊕ x) | Def ha′
= a ⊕ (a′⊕ x) | Def ha
= (a ⊕ a′) ⊕ x | Assoziativität
= a′′ ⊕ x | Sei a′′ = (a ⊕ a′)
= ha′′(x) | Def ha′′ □
Gruß
rtu
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tactac
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| Beitrag No.5, eingetragen 2021-01-16
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Ich würde a‘‘ vorher definieren (oder gar nicht verwenden). Und natürlich fehlt noch Text drumherum, der die Gleichungskette mit dem in Beziehung setzt, was zu zeigen ist.
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rtu
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-16
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Vielen Dank, das hat mir geholfen.
Noch eine Frage zum Beweis für das (rechts)inverse Element.
Wenn ich zeigen möchte, dass gilt:
a ◦ a^-1 = e , zeige ich es dann folgendermaßen?
ha(x) ◦ ha^-1(x) = (ha ◦ ha^-1)(x) | Def rechtsinverses Element
= ha(ha^-1(x)) | Def ◦
= ha(a^-1 ⊕ x) | Def ha^-1
= a ⊕ (a^-1 ⊕ x) | Def ha
= (a ⊕ a^-1) ⊕ x | Assoziativität
= e ⊕ x | ?
= x | ?
= id(x) | ?
Bei den letzten schritten weiß ich nicht so recht, ob das so richtig sein kann.
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tactac
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| Beitrag No.7, eingetragen 2021-01-16
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]}
\newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner}
\newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
"ha(x) ◦ ha^-1(x)" ist Unsinn, weil links und rechts vom ◦ Elemente von $G$ stehen, und wir nicht davon ausgehen können, dass das Funktionen sind.
Um von Rechtsinversen sprechen zu können, müsstest du wissen, was das neutrale Element in $H$ ist. (Ja, das ist $\mathrm{id}_G$; dass $\mathrm{id}_G = h_e$ spielt dabei nur in so fern eine Rolle, dass $\mathrm{id}_G \in H$.)
Um zu zeigen, dass jedes Element von $H$ ein rechtsinverses in $H$ hat, musst du zeigen, dass es für jedes $a \in G$ ein $a' \in G$ gibt mit $h_a \circ h_{a'} = \mathrm{id}$.
Dazu kann man einfach raten, dass $a' = a^{-1}$ sein könnte und dann mit deiner Gleichungskette (am Anfang leicht modifiziert!) weitermachen.
(Und die drei Fragezeichen sind sowas wie "Def. Inverse", "Def. e", "Def. id")\(\endgroup\)
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