Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Wauzi
Elementare Zahlentheorie » Zahlentheoretische Funktionen » Zeige: ggT ist bis auf Einheiten eindeutig bestimmt
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Zeige: ggT ist bis auf Einheiten eindeutig bestimmt
MalcomY
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.05.2020
Mitteilungen: 40
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-16


Aufgabe:
Es ist R ein kommutativer Ring mit 1, aber ohne Nullteiler (Integritätsbereich). Für zwei Elemente \(a, b \in \mathbb{R}\) ist \(d\) ein größter gemeinsame Teiler, wenn gilt
(i) \(d|a\), \(d|b\) und
(ii) für jedes \(e\in \mathbb{R}\) mit \(e|a\), \(e|b\) gilt \(e|d\).

Zeigen Sie, dass dieser ggT, wenn er existiert, bis auf Einheiten eindeutig bestimmt ist.

bis auf Einheiten eindeutig bestimmt heißt doch, dass es bis auf die Inversen eindeutig bestimmt ist. Also \(d\) und \((-d)\).

b) Geben Sie eine analoge Definition fur das “ ¨ kleinste gemeinsame Vielfache” zweier
Ringelemente kgV(a, b).

Das bekomme ich schon hin.

c) Sei \(v = kgV(a, b)\) für zwei Elemente \(a, b \in \mathbb{R}\). Man zeige, dass daraus \(ggT(a, b) = ab/v\) folgt. Insbesondere folgt also aus der Existenz des kgV immer schon automatisch die Existenz des ggT.

Könnt ihr mir Helfen? Ich weiß nicht wie ich voran gehen soll.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
tactac
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 1992
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-16

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
2021-01-16 16:03 - MalcomY im Themenstart schreibt:
bis auf Einheiten eindeutig bestimmt heißt doch, dass es bis auf die Inversen eindeutig bestimmt ist. Also \(d\) und \((-d)\).
Das stimmt nicht. Schlage die Definition von Einheiten nach.
Als nächstes wäre sinnvoll zu zeigen, dass x und y „bis auf Einheiten gleich“ sind, gdw. x y teilt und y x teilt.
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
MalcomY
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.05.2020
Mitteilungen: 40
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-17


Also ich habe mir nochmal die Definiton von Einheit angeschaut. Ein \(x \in R\) ist eine Einheit, wenn es ein Element \(y \in R\) gibt mit \(x  \cdot y = 1\).

Was bedeutet dann aber bis auf Einheiten gleich.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
StrgAltEntf
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 6673
Herkunft: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-17


2021-01-17 12:47 - MalcomY in Beitrag No. 2 schreibt:
Was bedeutet dann aber bis auf Einheiten gleich.

Das heißt: Wenn d und e größte gemeinsame Teiler sind, dann gibt es eine Einheit x, sodass e = x*d



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46334
Herkunft: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-01-17


Hi MalcomY,
ein Element a ist bis auf Einheiten gleich b, wenn es eine Einheit e gibt mit b=ae.
Gruß Buri

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
MalcomY
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.05.2020
Mitteilungen: 40
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-17

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}} \newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
Vielen Dank Buri und StrgAltEntf.

2021-01-16 16:12 - tactac in Beitrag No. 1 schreibt:

Als nächstes wäre sinnvoll zu zeigen, dass x und y „bis auf Einheiten gleich“ sind, gdw. x y teilt und y x teilt.

Ist das dann richtig:
(=>)
x und y sind bis auf Einheiten gleich <=> \(x = e \cdot y\) und \(y = b \cdot x\) => x | y und y | x und die Einheiten sind b und e.

(<=)
folgt ja aus der Definition.
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
StrgAltEntf
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 6673
Herkunft: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2021-01-17


2021-01-17 13:43 - MalcomY in Beitrag No. 5 schreibt:
(<=)
folgt ja aus der Definition.

Nun ja,, es folgt ja alles Richtige irgendwie aus der Definition. Du solltest es schon beweisen.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
juergenX
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 08.07.2019
Mitteilungen: 368
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2021-01-17


2021-01-16 16:03 - MalcomY im Themenstart schreibt:
Aufgabe:
Es ist R ein kommutativer Ring mit 1, aber ohne Nullteiler (Integritätsbereich). Für zwei Elemente \(a, b \in \mathbb{R}\) ist \(d\) ein größter gemeinsame Teiler, wenn gilt
(i) \(d|a\), \(d|b\) und
Das ist zunächst eine äquivalente Bedingung für d ist "Teiler" von a und b



(ii) für jedes \(e\in \mathbb{R}\) mit \(e|a\), \(e|b\) gilt \(e|d\).

Zeigen Sie, dass dieser ggT, wenn er existiert, bis auf Einheiten eindeutig bestimmt ist.


Wenn $e|a$ dann auch $e|d$ folgt Imho aus der Transitivität der Teilerrelation.
Ebenso: Wenn $e|b$ dann auch $e|d$.

Es fehlt für die Eindeutigkeit der Begriff "Größter" noch dass R ein Euklidscher Bewertungsring ist, denn es folgt aus $e|d$ nicht unbedingt  $d\gt e$.









Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
StrgAltEntf
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 6673
Herkunft: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2021-01-17


@juergenX:

2021-01-17 15:06 - juergenX in Beitrag No. 7 schreibt:
2021-01-16 16:03 - MalcomY im Themenstart schreibt:
Aufgabe:
(i) \(d|a\), \(d|b\) und
(ii) für jedes \(e\in \mathbb{R}\) mit \(e|a\), \(e|b\) gilt \(e|d\).

Wenn $e|a$ dann auch $e|d$ folgt Imho aus der Transitivität der Teilerrelation.

Das folgt nicht aus der Transitivität. Betrachte etwa \((\IZ,\cdot)\). Wähle a = 12, d = 4, e = 6.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
juergenX
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 08.07.2019
Mitteilungen: 368
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2021-01-17


2021-01-17 15:35 - StrgAltEntf in Beitrag No. 8 schreibt:
@juergenX:

2021-01-17 15:06 - juergenX in Beitrag No. 7 schreibt:
2021-01-16 16:03 - MalcomY im Themenstart schreibt:
Aufgabe:
(i) \(d|a\), \(d|b\) und
(ii) für jedes \(e\in \mathbb{R}\) mit \(e|a\), \(e|b\) gilt \(e|d\).

*durschstreich*Wenn $e|a$ dann auch $e|d$ folgt Imho aus der Transitivität der Teilerrelation.


Das folgt nicht aus der Transitivität. Betrachte etwa \((\IZ,\cdot)\). Wähle a = 12, d = 4, e = 6.

ok.
Wir wissen ggt(12,8)=4

$a=8$
$b=12$

Wir wissen

$4|8$
$4|12$

(1)Nach Behauptung ist d= 4, wenn für jedes \(e\in \mathbb{R}\) mit \(e|8\land e|12\) gilt \(e|4\). (Hier ist wohl $\land $ gemeint)

Ist das Wirklich so?

$e|a: e=1,2,4,8|8$
$e|b: e=1,2,3,4,6,12|12$

Für welche \(e\in \mathbb{R}\) gilt \(e|8\land e|12 \)?
Nur \(e=1,2,4|4\).
$\Rightarrow d=4$

Das ist kein beweis eher ein nachrechnen.
Ansatz: alle anderen \(e\in \mathbb{R}\) wuerden entweder a oder b nicht teilen.




Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
MalcomY hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]