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 Zeige: ggT ist bis auf Einheiten eindeutig bestimmt |
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MalcomY
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Dabei seit: 12.05.2020
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Aufgabe:
Es ist R ein kommutativer Ring mit 1, aber ohne Nullteiler (Integritätsbereich). Für zwei Elemente \(a, b \in \mathbb{R}\) ist \(d\) ein größter gemeinsame Teiler, wenn gilt
(i) \(d|a\), \(d|b\) und
(ii) für jedes \(e\in \mathbb{R}\) mit \(e|a\), \(e|b\) gilt \(e|d\).
Zeigen Sie, dass dieser ggT, wenn er existiert, bis auf Einheiten eindeutig bestimmt ist.
bis auf Einheiten eindeutig bestimmt heißt doch, dass es bis auf die Inversen eindeutig bestimmt ist. Also \(d\) und \((-d)\).
b) Geben Sie eine analoge Definition fur das “ ¨ kleinste gemeinsame Vielfache” zweier
Ringelemente kgV(a, b).
Das bekomme ich schon hin.
c) Sei \(v = kgV(a, b)\) für zwei Elemente \(a, b \in \mathbb{R}\). Man zeige, dass daraus \(ggT(a, b) = ab/v\) folgt. Insbesondere folgt also aus der Existenz des kgV immer schon automatisch die Existenz des ggT.
Könnt ihr mir Helfen? Ich weiß nicht wie ich voran gehen soll.
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tactac
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 |      Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-16
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]}
\newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner}
\newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
2021-01-16 16:03 - MalcomY im Themenstart schreibt:
bis auf Einheiten eindeutig bestimmt heißt doch, dass es bis auf die Inversen eindeutig bestimmt ist. Also \(d\) und \((-d)\). Das stimmt nicht. Schlage die Definition von Einheiten nach.
Als nächstes wäre sinnvoll zu zeigen, dass x und y „bis auf Einheiten gleich“ sind, gdw. x y teilt und y x teilt.\(\endgroup\)
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MalcomY
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|  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-17
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Also ich habe mir nochmal die Definiton von Einheit angeschaut. Ein \(x \in R\) ist eine Einheit, wenn es ein Element \(y \in R\) gibt mit \(x \cdot y = 1\).
Was bedeutet dann aber bis auf Einheiten gleich.
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StrgAltEntf
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 | Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-17
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2021-01-17 12:47 - MalcomY in Beitrag No. 2 schreibt:
Was bedeutet dann aber bis auf Einheiten gleich.
Das heißt: Wenn d und e größte gemeinsame Teiler sind, dann gibt es eine Einheit x, sodass e = x*d
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Buri
Senior
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 | Beitrag No.4, eingetragen 2021-01-17
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Hi MalcomY,
ein Element a ist bis auf Einheiten gleich b, wenn es eine Einheit e gibt mit b=ae.
Gruß Buri
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
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MalcomY
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-17
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]}
\newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner}
\newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}
\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]}
\newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner}
\newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
Vielen Dank Buri und StrgAltEntf.
2021-01-16 16:12 - tactac in Beitrag No. 1 schreibt:
Als nächstes wäre sinnvoll zu zeigen, dass x und y „bis auf Einheiten gleich“ sind, gdw. x y teilt und y x teilt.
Ist das dann richtig:
(=>)
x und y sind bis auf Einheiten gleich <=> \(x = e \cdot y\) und \(y = b \cdot x\) => x | y und y | x und die Einheiten sind b und e.
(<=)
folgt ja aus der Definition.\(\endgroup\)
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StrgAltEntf
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| Beitrag No.6, eingetragen 2021-01-17
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2021-01-17 13:43 - MalcomY in Beitrag No. 5 schreibt:
(<=)
folgt ja aus der Definition.
Nun ja,, es folgt ja alles Richtige irgendwie aus der Definition. Du solltest es schon beweisen.
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juergenX
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 | Beitrag No.7, eingetragen 2021-01-17
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2021-01-16 16:03 - MalcomY im Themenstart schreibt:
Aufgabe:
Es ist R ein kommutativer Ring mit 1, aber ohne Nullteiler (Integritätsbereich). Für zwei Elemente \(a, b \in \mathbb{R}\) ist \(d\) ein größter gemeinsame Teiler, wenn gilt
(i) \(d|a\), \(d|b\) und Das ist zunächst eine äquivalente Bedingung für d ist "Teiler" von a und b
(ii) für jedes \(e\in \mathbb{R}\) mit \(e|a\), \(e|b\) gilt \(e|d\).
Zeigen Sie, dass dieser ggT, wenn er existiert, bis auf Einheiten eindeutig bestimmt ist.
Wenn $e|a$ dann auch $e|d$ folgt Imho aus der Transitivität der Teilerrelation.
Ebenso: Wenn $e|b$ dann auch $e|d$.
Es fehlt für die Eindeutigkeit der Begriff "Größter" noch dass R ein Euklidscher Bewertungsring ist, denn es folgt aus $e|d$ nicht unbedingt $d\gt e$.
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StrgAltEntf
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| Beitrag No.8, eingetragen 2021-01-17
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@juergenX:
2021-01-17 15:06 - juergenX in Beitrag No. 7 schreibt:
2021-01-16 16:03 - MalcomY im Themenstart schreibt:
Aufgabe:
(i) \(d|a\), \(d|b\) und
(ii) für jedes \(e\in \mathbb{R}\) mit \(e|a\), \(e|b\) gilt \(e|d\).
Wenn $e|a$ dann auch $e|d$ folgt Imho aus der Transitivität der Teilerrelation.
Das folgt nicht aus der Transitivität. Betrachte etwa \((\IZ,\cdot)\). Wähle a = 12, d = 4, e = 6.
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juergenX
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Mitteilungen: 368
| Beitrag No.9, eingetragen 2021-01-17
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2021-01-17 15:35 - StrgAltEntf in Beitrag No. 8 schreibt:
@juergenX:
2021-01-17 15:06 - juergenX in Beitrag No. 7 schreibt:
2021-01-16 16:03 - MalcomY im Themenstart schreibt:
Aufgabe:
(i) \(d|a\), \(d|b\) und
(ii) für jedes \(e\in \mathbb{R}\) mit \(e|a\), \(e|b\) gilt \(e|d\).
*durschstreich*Wenn $e|a$ dann auch $e|d$ folgt Imho aus der Transitivität der Teilerrelation.
Das folgt nicht aus der Transitivität. Betrachte etwa \((\IZ,\cdot)\). Wähle a = 12, d = 4, e = 6.
ok.
Wir wissen ggt(12,8)=4
$a=8$
$b=12$
Wir wissen
$4|8$
$4|12$
(1)Nach Behauptung ist d= 4, wenn für jedes \(e\in \mathbb{R}\) mit \(e|8\land e|12\) gilt \(e|4\). (Hier ist wohl $\land $ gemeint)
Ist das Wirklich so?
$e|a: e=1,2,4,8|8$
$e|b: e=1,2,3,4,6,12|12$
Für welche \(e\in \mathbb{R}\) gilt \(e|8\land e|12 \)?
Nur \(e=1,2,4|4\).
$\Rightarrow d=4$
Das ist kein beweis eher ein nachrechnen.
Ansatz: alle anderen \(e\in \mathbb{R}\) wuerden entweder a oder b nicht teilen.
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