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Moderiert von Fabi Dune ligning
Lineare Algebra » Vektorräume » Schnitt im Teilraum
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Universität/Hochschule J Schnitt im Teilraum
sina1357
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  Themenstart: 2021-01-16

Hallo zusammen, ich bearbeite folgende Aufgaben: Sei V ein Vektorraum, und es seien A,B,C Teilräume von V. i) Ist C ⊆ A, so gilt A ∩ (B+C)=(A ∩ B)+C. ii) Gilt im Allgemeinen die Gleichheit A ∩ (B+C)=(A ∩ B)+(A ∩ C)? zu i) Sei B+C={b+c | b ∈ B, c ∈ C}. (b+c)∈ A ∩ (B+C) -> (b+c)∈ A und (b+c)∈(B+C) -> (b+c)∈ A und (b∈B und c∈C) -> [(b+c)∈ A und b∈B] und c∈C -> (b∈ A und b∈B) und c∈C -> b∈(A ∩ B)und c∈C -> (b+c)∈(A ∩ B)+C Aus[(b+c)∈ A und b∈B] folgt (b∈ A und b∈B), da nach Teilraumkriterium auch -c∈ A gilt also(b+c-c)=b∈ A zu ii) fehlt mir leider der Ansatz Vielen Dank für eure Hilfe!

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hippias
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-16

Ich finde Deine Begründung nicht ausreichend. Fange Deinen Teilbeweis vielleicht besser so an: Sei $x\in A\cap (B+C)$. Zu zeigen ist, dass $x\in (A\cap B)+C$, d.h. Du musst zeigen, dass $x$ Summe eines Elementes aus $A\cap B$ und eines Elementes aus $C$ ist. Wegen $x\in B+C$ existieren nach Definition $b\in B$ und $c\in C$ so, dass $x= b+c$. Wegen $x\in A$ und $C\subseteq A$, folgt für $b$, dass ... . Also ist $x$ Summe eines Elementes aus $A\cap B$ und $C$, d.h.$x\in (A\cap B)+C$ [Lücke ausfüllen].

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