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| Autor |
  Gleichung lösen |
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Walross
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Man bestimme alle Lösungen der folgenden Gleichung:
\(\sin(1992\cdot\pi^2\cdot x^{-1})=\sec(x)\)
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sonnenschein96
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 |      Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-17
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Hallo Walross,
es wäre schön, wenn Du eine etwas ausführlichere Frage formulieren könntest, mit einem "Hallo" beginnen würdest und schreiben würdest, was Du Dir bis jetzt für Gedanken gemacht hast.
Ich nehme an, dass Du alle \(x\in\mathbb{R}\setminus((\frac{\pi}{2}+\mathbb{Z}\pi)\cup\{0\}))\) bestimmen sollst, die diese Gleichung erfüllen? Eine entscheidende Beobachtung ist wohl, dass \(|\sin(1992\pi^2x^{-1})|\leq1\) ist und \(|\sec(x)|\geq1\) ist. Damit kann Gleichheit nur gelten, falls \(\sin(1992\pi^2x^{-1})=\sec(x)=1\) oder \(\sin(1992\pi^2x^{-1})=\sec(x)=-1\). Als nächstes würde ich mir dann überlegen, für welche \(x\) denn \(\sec(x)\in\{-1,1\}\) ist und dann schauen, was \(\sin(1992\pi^2x^{-1})\) für diese \(x\) ist.
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Walross
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-17
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Hallo sonnenschein96,
vielen Dank für den Tipp. Damit werde ich es versuchen.
Gruß Walross
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sonnenschein96
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| Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-17
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Falls ich mich auf die Schnelle nicht verrechnet habe, sind hier die Ergebnisse zur Überprüfung:
Die Gleichung besitzt genau die beiden Lösungen \(x_1=16\pi\) und \(x_2=3984\pi\).
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Walross
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-17
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Ich habe es inzwischen auch gelöst. Deine beiden Lösungen sind korrekt, es gibt allerdings insgesamt vier:
Es gilt für $x\in\mathbb{R}\backslash[\{\frac{\pi}{2}+2\cdot k\cdot\pi\mid k\in\mathbb{Z}\}\cup\{0\}]$:
$\sin\left(\frac{1992\cdot\pi^2}{x}\right)=\frac{1}{\cos(x)}\\
\Leftrightarrow\sin\left(\frac{1992\cdot\pi^2}{x}\right)\cdot\cos(x)=1$
Wegen der Beschränktheit von Sinus- und Kosinusfunktion durch $1$ ergeben sich ausschließlich die folgenden beiden Fälle:
Fall 1:
$\sin\left(\frac{1992\cdot\pi^2}{x}\right)=\cos(x)=1\\
\Leftrightarrow\frac{1992\cdot\pi^2}{x}=\frac{\pi}{2}+2\cdot p\cdot\pi~\land~x=2\cdot q\cdot\pi,~p\in\mathbb{Z},~q\in\mathbb{Z}\backslash\{0\}\\
\Leftrightarrow \frac{1992\cdot\pi^2}{2\cdot q\cdot\pi}=\frac{\pi}{2}+2\cdot p\cdot\pi\\
\Leftrightarrow 1992=q+4\cdot p\cdot q\\
\Leftrightarrow 2^3\cdot 3\cdot 83=q\cdot(1+4\cdot p)$
Lösungsmenge für $(p,q)$: $\{(-21,-24),(-1,-664),(0,1992),(62,8)\}$
$x=2\cdot q\cdot\pi$, also $x\in\{-48\cdot\pi,-1328\cdot\pi,3984\cdot\pi,16\cdot\pi\}$
Fall 2:
$\sin\left(\frac{1992\cdot\pi^2}{x}\right)=\cos(x)=-1\\
\Leftrightarrow \frac{1992\cdot\pi^2}{x}=\frac{3\cdot\pi}{2}+2\cdot p\cdot\pi~\land~x=\pi+2\cdot q\cdot\pi,~p,q\in\mathbb{Z}\\
\Leftrightarrow \frac{1992\cdot\pi^2}{\pi+2\cdot q\cdot\pi}=\frac{3\cdot\pi}{2}+2\cdot p\cdot\pi\\
\Leftrightarrow 1992=\frac{3}{2}+2\cdot p+3\cdot q+4\cdot p\cdot q$
Keine Lösungen, da $p,q\in\mathbb{Z}$.
Lösungsmenge der Gleichung:
$L=\{n\cdot\pi\mid n\in\{-1328,-48,16,3984\}\}$
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sonnenschein96
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| Beitrag No.5, eingetragen 2021-01-17
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2021-01-17 01:52 - Walross in Beitrag No. 4 schreibt:
Deine beiden Lösungen sind korrekt, es gibt allerdings insgesamt vier:
Ja upsi^^ Ich hatte aus irgendeinem Grund bei Fall \(1\) nur \(q>0\) betrachtet und \(q<0\) vergessen... Gut dass Du es nochmal nachgerechnet hast.
Diese \(4\) Lösungen sollten aber jetzt wirklich alle sein.
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Walross
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-17
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Ja, das denke ich auch. Vielen Dank nochmal.
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Walross hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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