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Universität/Hochschule J Eigenwerte aus komplexer Matrix
Bura
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-17


Hallo, ich hänge etwas bei dieser Aufgabe.

Ich soll aus der Matrix

$\left(\begin{array}{rrr}
a & b \\
c & d \\
\end{array}\right)\in \mathbb{C}$

sämtliche Eigenwerte bestimmen.

Als erstes habe ich mal das charakteristische Polynom aufgestellt:
   \[
     \\det\begin{pmatrix}
       \lambda-a & b \\
       c & \lambda-d  \\
     \end{pmatrix}
\]
Nun hätte ich die Eigenwerte über die Nullstellen des charakteristischen Polynoms ausgerechnet:

\[(\lambda-a) * (\lambda-d) - cb\] \[= \lambda^2 -d\lambda-a\lambda+ad-cd\]
Wie ich hier dann auf die genauen Eigenwerte komme ist mir nicht klar. Ich soll dann auch eine Aussage über die algebraische Vielfachheit der Eigenwerte treffen.

Könnte mir jemand hier weiterhelfen?

Grüße Bura



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-17

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo Bura,

dein charakteristisches Polynom ist falsch. Schlage das nochmal nach. Es muss ja die Gleichung \(\det\left(A-\lambda E\right)=0\) herauskommen.


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Eigenwerte' von Diophant]
\(\endgroup\)


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Bura
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-17


Hallo Diophant,

puh ich sehe gerade meinen Fehle nicht, bis auf die vergessene Klammer.

\[((\lambda-a) * (\lambda-d)) - cb\] \[= \lambda^2 -d\lambda-a\lambda+ad-cd\]
Also zum Berechnen habe ich die Formel aus meinem Skript genommen:

char. Polynom = det(\(\lambda * E -A)\)

Mit der von dir gegebenen Formel komme ich auf das selbe Polynom. Ich mache bestimmt einen sehr dummen Fehler sehe, ihn aber gerade nicht.

Grüße Bura



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-17


2021-01-17 15:05 - Bura in Beitrag No. 2 schreibt:
char. Polynom = det(\(\lambda * E \color{red}-A)\)

Du hast das Minuszeichen aber nur vor 2 der 4 Matrixelemente von $A$ geschrieben.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-01-17


Hallo,

stimmt, ich hatte nur die Matrix im Themenstart angeschaut, und die ist falsch. Da bräuchte es in deiner Version vor den Variablen b und c noch je ein Minuszeichen.

Deine charakteristische Gleichung stimmt jedoch (sorry für meinen Lesefehler).

Nur was da jetzt genau dein Anliegen ist, wird so noch nicht klar. Wie lautet denn die genaue Aufgabenstellung?


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]



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Bura
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-17


Achso, danke dafür Zippy.

Mein Problem lag daran, dass ich nicht wusste, wie ich die char. Gleichung ausrechnen kann.

Das hat sich aber mittlerweile geklärt, danke für die Hilfe!

Gruß Bura



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