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| Autor |
  Konvergenz von Reihen |
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Francesco
Aktiv 
Dabei seit: 14.12.2020
Mitteilungen: 21
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Guten Abend,
ich soll folgende Reihe auf Konvergenz untersuchen
$$
\sum\big(\frac{n}{n+1}\big)^{n^2}
$$
komme auch zu einer Lösung, bin mir jedoch unsicher ob diese richtig ist, deshalb frage ich nach. Meine Lösungsidee wäre:
$$
\sum\big(\frac{n}{n+1}\big)^{n^2}
$$
Anwenden des Wurzelkriteriums:
Sei $$a_n=\big(\frac{n}{n+1}\big)^{n^2}$$ es folgt:
$$
\sqrt[n]{\vert a_n\vert }=\sqrt[n]{\vert\big(\frac{n}{n+1}\big)^{n^2}\vert}=\vert\big(\frac{n}{n+1}\big)^n \vert=\vert\big(\frac{n+1}{n}\big)^{-n}\vert=\vert(1+\frac{1}{n})^{-n}\vert=\vert\frac{1}{(1+\frac{1}{n})^{n}}\vert
$$
$$
\lim\limits_{n \rightarrow\infty}\vert\frac{1}{(1+\frac{1}{n})^{n}}\vert=\frac{1}{e}\le1\Rightarrow\sum\big(\frac{n}{n+1}\big)^{n^2}~\text{konvergiert}
$$
Liebe Grüße
Francesco
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 6108
Herkunft: Rosenfeld, BW
 |      Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-17
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
das sieht alles gut aus. 👍
Man könnte sich auch zunächst auf das allgemeine Reihenglied konzentrieren und sich klarmachen, dass dieses von unten her gegen \(\frac{1}{e}\) strebt. Dann könnte man die geometrische Reihe mit \(q=\frac{1}{e}\) als konvergente Majorante heranziehen.
Das nur als alternative Begründung. An deiner Rechnung gibt es nichts auszusetzen.
EDIT: doch, eine Kleinigkeit. Du solltest am Ende \(\frac{1}{e}<1\) schreiben, denn nur für einen Limes superior echt kleiner 1 folgt ja die Konvergenz.
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Folgen und Reihen' von Diophant]\(\endgroup\)
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Kuestenkind
Senior 
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 1947
| Beitrag No.2, eingetragen 2021-01-17
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Huhu Francesco,
das sieht gut aus!
Gruß,
Küstenkind
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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Francesco
Aktiv 
Dabei seit: 14.12.2020
Mitteilungen: 21
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-17
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