| |
| Autor |
 orthogonale und lineare Abbildungen |
|
Majazakava
Aktiv 
Dabei seit: 07.06.2020
Mitteilungen: 71
 |
Hallo,
ich verstehe nicht, wie die folgende Aufgabe geht:
Sei eine lineare Abbildung \(B:\IR^k \to \IR^n\), so gibt es eine orthogonale lineare Abbildung \(A:\IR^n \to \IR^n\), sodass \((A\circ B)(\IR^k) \subseteq \IR^k \times \{\boldsymbol{0}\}\) gilt.
Ich habe mir schon Gedanken dazu gemacht, dass A bijektiv sein müsste, da es orthogonal ist und von \(\IR^n->\IR^n\) abbildet. Aber da ich nicht weiß, was B ist, weiß ich nicht, wie ich damit arbeiten kann.
(Ich kann ja nicht einfach für A die Identitätsabbildung nehmen und sagen, dass \(\IR^n \subseteq \IR^k \times {0}\) gilt, aber verstehe auch nicht, wie eine passende Abbildung finden kann)
Kann mir hier jemand Ansätze dafür geben?
Vielen Dank im Vorfeld
LG
Majazakava
|
 Notiz  Profil
 Quote
 Link |
sonnenschein96
Senior 
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 357
|      Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-17
|
Hallo Majazakava,
da das Bild von \(B\) höchstens \(k\)-dimensional ist, kannst Du eine ONB \(b_1,\ldots,b_l\) des Bildes wählen (mit \(l\leq k\)) und \(Ab_j:=e_j\) für \(j=1,\ldots,l\) setzen und dann eindeutig linear fortsetzen. Damit hast Du schonmal eine lineare Abbildung \(A\colon\operatorname{Im}(B)\to\mathbb{R^k}\times\{0\}\) definiert, die Du nun zu einer orthogonalen Abbildung \(A\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R^n}\) fortsetzen kannst.
|
Notiz Profil
Quote
Link |
Majazakava
Aktiv
Dabei seit: 07.06.2020
Mitteilungen: 71
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-18
|
Hi,
kannst Du das nochmal erklären? Ich blick da leider nicht durch.
Ignoriere ich dann \(Ab_i\) mit \(i=l,...,k\), oder spielen die doch eine Rolle?
Wenn ich nur die \(Ab_j:=e_j\) anschaue, hätte ich ja \(l\) Einheitsvektoren mit jeweils \(n\) Einträgen, oder? Das hätte dann die Dimension \(\IR^l \times \{\boldsymbol{0}\}\) und da \(l\le k\) ist und der Nullvektor sich an \(l\) anpassen kann, ist die erste Bedingung gelöst, oder?
Wie ich zeigen soll, dass A orthogonal ist, verstehe ich immer noch nicht.
Kannst Du hier nochmal helfen?
Vielen Dank im Vorfeld.
LG
Majazakava
|
Notiz Profil
Quote
Link |
sonnenschein96
Senior
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 357
| Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-18
|
2021-01-18 13:34 - Majazakava in Beitrag No. 2 schreibt:
Ignoriere ich dann \(Ab_i\) mit \(i=l,...,k\), oder spielen die doch eine Rolle?
Bis jetzt sind ja erst \(b_1,\ldots,b_l\) gewählt worden. \(b_{l+1},\ldots,b_k\) gibt es bis jetzt in unserer Betrachtung noch nicht, daher ist Deine Frage etwas komisch^^ Um \(A\) auf ganz \(\mathbb{R}^n\) definieren zu können, liegt es aber nahe, \(\{b_1,\ldots,b_l\}\) durch gewisse Vektoren \(b_{l+1},\ldots,b_n\) zu einer Basis des \(\mathbb{R}^n\) zu ergänzen und festzulegen, was \(Ab_{l+1},\ldots,Ab_n\) sein soll.
2021-01-18 13:34 - Majazakava in Beitrag No. 2 schreibt:
Wie ich zeigen soll, dass A orthogonal ist, verstehe ich immer noch nicht.
Wenn Du es schaffst alles so zu wählen, dass \(\{b_1,\ldots,b_n\}\) und \(\{Ab_1,\ldots,Ab_n\}\) ONB's des \(\mathbb{R}^n\) sind, kannst Du Dir leicht überlegen, dass \(A\) orthogonal ist.
|
Notiz Profil
Quote
Link |
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
