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 Integral berechnen mit dem Residuensatz |
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Math_user
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Guten Morgen
Ich versuche gerade folgendes Integral mit dem Residuensatz zu berechnen
$$\oint_{\{\vert z \vert =1\}}\frac{sin(z)}{z^4(z^2+2)}dz$$
Dazu berechnet man als erstes die isolierten Singularitäten, welche in unserem Fall schon nicht ganz einfach ist. Bei $z=0$ haben wir ja $\frac{0}{0}$ und dies ist ja nicht bestimmt oder $+/- i\sqrt{2}$, welche aber beide nicht in $\vert z \vert=1$ sind. Ich scheitere schon hier also...
Kann mir jemand weiterhelfen?
Vielen Dank für eure Hilfe und einen guten Wochenstart
Math_user
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Wally
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 |      Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-18
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo,
schlimmstenfalls ist bei \( z=0\) ein Pol vierter Ordnung.
Welche Möglichkeiten kennst du jetzt?
Viele Grüße
Wally\(\endgroup\)
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Math_user
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-18
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Vielen Dank Wally für deine Antwort.
Tut mir leid, weshalb haben wir da ein Pol der Ordnung 4?
Klar, wir können das Integral schreiben als
$$f(z)=\frac{1}{z^4}\frac{sin(z)}{z^2+2}$$
Wenn wir nun
$$g(z):=\frac{sin(z)}{z^2+2}$$ definieren, haben wir dass $g(0)= 0$. Weshalb haben wir aber trotzdem ein Pol der Ordnung 4, da?
Was meinst du mit Möglichkeiten?
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Wally
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| Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-18
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Nein, die "wirkliche" Polordnung ist 3. Aber das macht vielleicht nichts aus.
Ersetze doch einfach mal den Sinus durch einen Kosinus (nur für's Überlegen).
Wie würdest du dann weiterrechnen?
Viele Grüße
Wally
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Kuestenkind
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| Beitrag No.4, eingetragen 2021-01-18
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Huhu Math_user,
du kannst auch alternativ mit der Cauchy-Integralformel rechnen.
Gruß,
Küstenkind
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Math_user
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-18
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Ich bin immer noch ein wenig verwirrt. Aber weiterrechnen würde ich nun, in dem ich $Res(f,0)$ suche. Sprich, wenn ich nun annehmen, dass $g(z)$ (wie oben definiert aber anstatt $sin$ ist cos$(z)$), kann ich eine nette Abkürzung verwenden und erhalte:
$$Res(f,0)=g^{(4)}(0)$$
Soll heissen das Residuum ist die 4te Ableitung von $g(z)$ ausgewertet in $0$.
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Wally
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| Beitrag No.6, eingetragen 2021-01-18
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Das geht in die richtige Richtung, nur fehlt eine Fakultät und die Ableitungsordnung stimmt nicht.
Lies mal genau nach (notfalls den Beweis), warum das hier wohl nicht gehen sollte.
Viele Grüße
Wally
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Math_user
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-18
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Tut mir leid ich hatte meinen Kopf irgendwo!
Wir haben folgende Formel. Dazu betrachte wir ja Residuum von $0$, sprich wir erhalten:
$$Res(f,0)=\frac{1}{3!}g^{(3)}(0)$$
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Wally
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| Beitrag No.8, eingetragen 2021-01-18
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Und jetzt sollte dabei stehen (oder du musst es dir im Beweis ansehen):
Hat \( f\) in \( z_0\) einen Pol höchstens \( n\)-ter Ordnung, so ist....
Viele Grüße
Wally
\(\endgroup\)
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Math_user
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-18
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Tut mir leid, ich sehe nicht auf was du hinaus willst.. Wir haben diese Formel nur so erhalten als Übungsaufgabe.
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Kuestenkind
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| Beitrag No.10, eingetragen 2021-01-18
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Huhu Math_user,
wieso wendest du das nun nicht mal an? Und wieso sprichst du immer von einer Funktion \(g\)? Deine Funktion \(f\) hat ein Pol dritter Ordnung in \(z=0\), da \(\lim\limits_{z\to 0}\frac{\sin z}{z}=1\). Du musst also nur in deiner Formel \(n\) durch 3 ersetzen, \(z_0=0\) und \(f(z)=\frac{\sin z}{z^4(z^2+2)}\).
Gruß,
Küstenkind
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